1、第4课时余弦定理(2) 教学过程一、 问题情境 1. 你能举出在现实生活中与解三角形有关,但又是正弦定理所解决不了的例子吗? 2. 你能举出在数学本身内部哪些方面有可能会运用到余弦定理知识的例子吗?二、 数学运用(例1)【例1】如图,甲船以30n mile/h的速度向正北方向航行,乙船按某固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船北偏西105方向的B1处,此时两船相距20n mile;当甲船航行20min到达A2处时,乙船航行到甲船北偏西120方向的B2处,此时两船相距10n mile.问:乙船每小时航行多少海里?2(见学生用书课堂本P7)处理建议(1) 让学生读懂题意,帮助学生正
2、确构造三角形是关键;(2) 让学生自己结合题设条件、正弦定理或余弦定理求解.规范板书解如图1,连结A1B2,由已知得A2B2=10,A1A2=30=10, A1A2=A2B2.又A1A2B2=180-120=60, A1A2B2是等边三角形, A1B2=A1A2=10.由已知得A1B1=20,B1A1B2=105-60=45.(图1)在A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1A1B2cos45=202+(10)2-22010=200, B1B2=10.因此,乙船的速度为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30n mile.变式如图2,若连结A2B1,此题又如何求解
3、呢?(图2)规范板书解如图2,连结A2B1,由已知得A1B1=20,A1A2=30=10,B1A1A2=105.在A2A1B1中,由余弦定理得A2=A1+A1-2A1B1A1A2cos105=(10)2+202-21020=100(4+2), A2B1=10(1+).由正弦定理得sinA1A2B1=sinB1A1A2=, A1A2B1=45,则B1A2B2=60-45=15.在B1A2B2中,A2B2=10,由余弦定理得B1=A2+A2-2A2B1A2B2cos15=10(1+)2+(10)2-210(1+)10=200, B1B2=10.因此,乙船的速度为60=30(n mile/h).答:
4、乙船每小时航行30n mile.题后反思变式的解法也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较,要让学生善于利用条件优化解题过程.【例2】在ABC中,已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状.3(见学生用书课堂本P8)处理建议对于三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可以根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径: 将边转化为角; 将角转化为边.让学生从这两个角度进行分析.规范板书解法一(利用余弦定理化角为边)acosB=bcosAa=bc2+a2-b2=b2+c2-a2, 2a2=2b2,即a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二(利用正弦定理化边为角)acosB=bcos
5、A2RsinAcosB=2RsinBcosA, sinAcosB-cosAsinB=0, sin(A-B)=0(亦可变到tanA=tanB). -A-B, A-B=0,即A=B.故此三角形是等腰三角形.题后反思(1) 在判定三角形形状时,一般考虑从两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一个方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理,要求学生注重边角转化的桥梁正(余)弦定理.(2) 走三角变形之路,就要熟练掌握三角公式,应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.变式在ABC中,已知2cosBsinA=sinC,试判断ABC的形状.规范板书解法一
6、2cosBsinA=sinC2cosBsinA=sin-(A+B)2cosBsinA=sin(A+B)2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinBcosBsinA=cosAsinB=tanA=tanB.又A,B(0,),所以A=B.因此,ABC为等腰三角形.解法二由正、余弦定理得2cosBsinA=sinC2=c2+a2-b2=c2a2=b2a=b.因此,ABC为等腰三角形.【例3】(根据教材P16例6改编)在ABCD中,证明:AC2+BD2=2(AB2+AD2).4(例3)(见学生用书课堂本P8)处理建议(1) 利用正(余)弦定理的前提是必须在三角形中,在四边形中如何选择有用的三角
7、形是关键;(2) 任何一个三角形都不可能包含四边,因此必须选择两个三角形,让学生按此思路,往下思考.规范板书证明设ABC=,BCD=-.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos.在BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CDBCcos(-).因为cos(-)=-cos,CD=AB,BC=AD,将两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2).题后反思几何证明的关键是把有关量放到三角形中,借助正(余)弦定理,建立它们的关系,从而达到证明的效果,其中构造三角形是关键.(变式)变式(教材P16例6)如图,若AM是ABC中BC边上的中线,求证:AM=.规范板书证明设AM
8、B=,则AMC=180-.在ABM中,由余弦定理,得AB2=AM2+BM2-2AMBMcos.在ACM中,由余弦定理,得AC2=AM2+MC2-2AMMCcos(180-).因为cos(180-)=-cos,BM=MC=BC,所以AB2+AC2=2AM2+BC2,因此,AM=.*【例4】在ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.5处理建议此题所证结论包含ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.让一部分学生走“化为边”这一途径,让另一部分学生走“化为角”这一途径.规范板书证法
9、一(化边为角)a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)22sinBcosB+(2RsinB)22sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=22RsinA2RsinBsinC=2absinC.所以原式得证.证法二(化角为边)左边=a22sinBcosB+b22sinAcosA=a2+b2=(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=2c2=2ab=2absinC=右边.所以原式得证.题后反思(1) 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形形式(a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC),在转化为角的关系式后,要注意
10、三角函数公式的运用,在此题证明过程中用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinAcosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形形式以及余弦定理形式二.(2) 三角形中的有关证明问题,主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.变式已知ABC,请用余弦定理证明:a=bcosC+ccosB.规范板书证明bcosC+ccosB=b+c=a,即有a=bcosC+ccosB.四、 课堂练习 1. 在ABCD中,已知B=120,AB=6,BC=4,则AC=2,BD=2.提示由余弦定理
11、得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=62+42-264cos120=76, AC=2.由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcosA=42+62-246cos60=28, BD=2. 2. 在ABC中,证明:b=ccosA+acosC.(请你尝试用两种不同方法证明)证法一ccosA+acosC=2RsinCcosA+2RsinAcosC=2Rsin(A+C)=2Rsin(-B)=2RsinB=b,即b=ccosA+acosC.证法二ccosA+acosC=c+a=b,即证. 3. 在ABC中,已知a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=-1,求c.解 2cos(A+B)=-1, cos(A+B)=-,而0A+B180, A+B=120, C=60.由题易得a+b=2,ab=2, a2+b2=(a+b)2-2ab=(2)2-22=8.而c=a2+b2-2abcosC=8-22cos60=6, c=.五、 课堂小结 1. 我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用了正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断. 2. 我们要体会正、余弦定理的边角转换功能,注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力.
