1、江西省南昌市第十中学2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用集合交并补运算即可求解.【详解】依题意可知，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题.2.已知i为虚数单位，则关于复数z的说法正确的是（ ）A. B. z对应复平面内的点在第三象限C. z的虚部为D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念以及几何意义即可求解.【详解】已知，所以，所以.故选：A.【
2、点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的概念、共轭复数、复数的几何意义，需掌握住复数中的基本知识，属于基础题.3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.5【答案】A【解析】【详解】因由回归方程知，解得，故选A.4.已知，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可比较大小.【详解】因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数单调性，需熟记
3、对数函数的性质，属于基础题.5.已知命题：；命题：，且的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】x22x30，得x1，故p：3x1；命题q：，故q： 由q的一个必要不充分条件是p，可知q是p的充分不必要条件，故得故选A6.已知数列an满足2an=an1+an+1(n2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由条件可知数列为等差数列，由等差数列的性质可求结果.【详解】,是等差数列，由等差数列性质可得，故选：B【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的性质，属于中档题
4、.7.已知满足对任意成立,那么的取值范围是（ ）A. B. C. （1，2）D. 【答案】A【解析】【详解】根据题意可知函数在给定区间内递增，因此可知2-a0，a1，2-a+1,解得实数a的范围是，故选A.8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则，然后利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】设，则，.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式，需熟记三角函数的诱导公式，属于基础题.9.如图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解
5、析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图中的数据，计算求解即可.【详解】由题意可知几何体的直观图，如图： 由三视图可知，底面为矩形，为的中点，且平面，设为的中点，则易证平面,则有,易证为直角三角形,，,，, .该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个故选：C【点睛】本题考查是由三视图求几何体表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状属于基础题.10.已知三棱锥A-BCD的顶点均在球O的球面上，且，若H是点A在平面BCD内的正投影，且，则球O的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出即H是外心，且H是斜边BD的中点，在中利用勾股定理求出，设球O的半径为R，由，求出半
6、径R，再利用球的体积公式即可求解.【详解】因为，所以由三角形全等可得，即H是的外心，即H是斜边BD的中点，则球心O在AH上或其延长线上，由勾股定理可得，得，设球O的半径为R，则，所以.所以球O的体积为，故选：B.【点睛】本题考查了多面体外接球问题、球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.11.（江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测）若双曲线渐近线与抛物线相切，且被圆截得的弦长为，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】可以设切点为(x0，1)，由y2x，切线方程为y(1)2x0(xx0)，即y2x0x1，已知双曲线的渐近线为yx，x01，2，一条渐近线方程为y2x，圆心
7、到直线的距离是.故选B12.函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则（ ）A. -2B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意，过原点的直线与函数在区间内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得，代入所求关系式即可得到答案.【详解】函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数在区间内的图象相切，在区间上，y的解析式为，故由题意切点坐标为，切线斜率由点斜式得切线方程为：，直线过原点，得，.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.第卷（非选择题，共90分）二
8、、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是某工厂对一批新产品长度单位：检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为_【答案】22.5【解析】根据频率分布直方图，得；0.025+0.045=0.30.5；中位数应在2025内，设中位数为x，则0.3+(x20)0.08=0.5，解得x=22.5；这批产品的中位数是22.5.故答案为22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：众数：最高小长方形底边中点的横坐标；中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.14.设，向量，且
9、，则_.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直、平行的坐标运算求出，再利用向量模的坐标运算即可求解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直、平形以及向量的模的坐标运算，需熟记公式，属于基础题.15.由不等式组 确定的平面区域记为，由不等式组 确定的平面区域记为，若在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为_.【答案】【解析】【分析】首先画出两个不等式组表示的可行域，并求其公共区域，再根据概率公式计算结果.【详解】如图，平面区域就是三角形区域，平面区域与平面区域的重叠部分就是区域，.是等腰直角三角形， 由几何概型的概率公式，所求概率.故答案为：【点睛】本题考查面积比值类型的几何概型，重点考查不
10、等式组表示的平面区域的画法，属于基础题型.16.已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线l与圆有公共点的问题，列不等式求解即可【详解】圆C：直线l：与与轴交于点A（0，2），设P（x，y），由PA=PT，可得=2（2），即x2+y212y=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆所以问题可转化为直线l与圆有公共点，所以dr，6，解得或，实数k的取值范围是或故答案为或【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点P的轨迹是
11、解题的关键三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.（1）求的值.（2）如图，点D在线段AC上，且，若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解.（2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得，由即可求解.【详解】（1），由正弦定理，可得，则（2）由（1）知,可得：，（当且仅当时取等号），由，可得：，的面积最大值为.【点睛】本题考查了正、余弦定理、基本不等式求最值以及三角
12、形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.18.如图，在直三棱柱中，为线段上的一点，且，.（1）求证：；（2）若为的中点，若平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易证，从而得证；（2）先由为的中点，且平面，明确为中点，然后利用等体积变换求体积.试题解析：（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，., . （2）当为中点时, ,理由如下： ,取中点，连，分别为中点， , ，四边形为平行四边形，,， 19.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了
13、增加节目的趣味性，主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.（1）根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩；（2）主持人从A队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；【答案】（1）20；（2）.【解析】【分析】（1）设A队第6位选手的成绩为x，根据题意求出A队、B队的平均值，列平均值式子即可求解.（2）利用组合数先求出两人都没有“晋级”的概率，再由对立事件的概率计算公式即可求解【详解】（1）B队选手的平均分为，设A队第6位选手的成绩为x，则，得；（2）A队中成绩不少于21
14、分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，其中 A队中分以下的有人，分以上的有人，所以两人都没有“晋级”，则至少有一个为“晋级”的概率.【点睛】本题考查了茎叶图、古典概型的概率计算公式、组合数，属于基础题.20.已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A，B作抛物线的切线，两切线的斜率，若记AB的中点的横坐标为m，AB的弦长，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知设抛物线方程为：，求出抛物线方程，从而可求出抛物线的焦点，进而求出椭圆的标准方程.（2）设，求出A，B两
15、点切线的斜率，根据可得，由A，B两点直线的斜率从而可求出，再由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意可知，设抛物线方程为：点在抛物线C上，所以抛物线C的方程为，所以椭圆的上焦点为，所以椭圆的标准方程为；（2）设，在A点处的切线的斜率，在B点处的切线的斜率，又，所以，而，所以，又，所以.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入求出的表达式，再求出，根据导数的几何意义即可求解. （2）根据题意将不等式采用分
16、离参数法：当时， ；当1时， ，令利用导函数研究函数的单调性，求出的最值即可求解.【详解】（1）依题意，所以，所以，所以，所以切线方程为，即.（2）依题意，即，所以，当时，显然成立；当时，即，令，且时，解得，所以在单调递增，在上单调递减，所以，所以；当1时，即，令，所以在单调递增，所以，又，综上可得，.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程、利用导函数求函数的最值，考查了分离参数法以及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为
17、极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的标准方程；（2）直线l与圆C交于A，B两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用两角和的正弦公式展开，再根据代入即可求解.（2）先判断点P与圆的位置关系，将参数方程代入圆的方程，利用参数方程的几何意义即可求解.【详解】（1）依题意，可化为，即.（2）由（1）可知，圆的圆心在，而直线过点P，且P在圆内，直接把代入圆的方程可得，所以，而.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数方程的几何意义，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数，函数.（1）当时，求实数x的取值范围；（2）当与的图象有公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）采用零点分界法去绝对值即可求解.（2）将问题转化为有解，然后分离参数化为有解，再利用绝对值的几何意义即可求解.【详解】（1）当时，即.即有或，即或故不等式的解集为；（2）因为函数与函数的图象有公共点，则有解.即|有解，因为，所以.所以当与的图象有公共点时，m的范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、函数与方程，考查了转化思想，属于基础题.
