1、等差、等比数列基本性质知识与方法1在等差数列中，设m、n、r、s为正整数，若，则；特别地，若，则，这是等差数列的常用基本性质，这一性质可以推广到项数更多的情形，例如，设p、q也是正整数，且，则.在等差数列中，像“”这样的等式，只要满足左右两侧项数相同，且所有项的下标之和相等，则该等式一定成立.2等差数列的前n项和为，则.3在等比数列中，设m、n、r、s为正整数，且，则，特别地，若，则，这是等比数列的常用基本性质，这一性质可以推广到项数更多的情形，例如，设u、v也是正整数，且，则.在等比数列中，像“”这样的等式，只要满足左右两侧项数相同，且所有项的下标之和相等，则该等式一定成立.典型例题【例1】
2、在等差数列中，已知，则该数列的前11项和（ ）A.33B.44C.55D.66【解析】解法1：，所以.解法2：，所以.解法3：本题属单条件等差数列问题，可设，则由可得，解得：，所以.【答案】A变式1在等差数列中，已知，则该数列的前10项和_.【解析】解法1：，所以.解法2：，所以.解法3：本题属单条件等差数列问题，可设，则由可得，解得：，所以.【答案】30【反思】在等差数列的小题中运用性质计算时，可以允许下标出现分数，结果不会出现，但大题之中不能这么写.变式2等差数列的前n项和为，已知，则_.【解析】解法1：由题意，解得：，所以.解法2：，所以，故，从而.【答案】变式3若两个等差数列和的前n项
3、和分别是、，已知，则_.【解析】.【答案】【例2】等比数列中，则等于（ ）A.4B.8C.16D.32【解析】.【答案】C变式1已知数列1、9是等差数列，数列1、9是等比数列，则_.【解析】由题意，又，所以，故.【答案】变式2（2014广东）若正项等比数列满足，则_.【解析】由题意，所以.【答案】50强化训练1.（）设是公差的等差数列的前n项和，若，则（ ）A.15B.17C.19D.21【解析】解法1：，所以.解法2：，所以.【答案】A2.（）记为等差数列的前n项和，若，则的公差为（ ）A.lB.2C.4D.8【解析】，所以.【答案】C3.（）在正项等比数列中，则的值是（ ）A.10000B
4、.1000C.100D.10【解析】.【答案】A4.（）等差数列的前n项和为，若，则_.【解析】，所以，故.【答案】265等比数列的各项为正数，且，则（ ）A.12B.10C.8D.【解析】【答案】B6.（）已知数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则_.【解析】.【答案】10247.（）设等差数列的前n项和为，若，则_.【解析】解法1：由题意，所以，故.解法2：本题属单条件等差数列问题，可设，则，所以.【答案】78.（）设等差数列的前n项和为，若，则_.【解析】，又，所以.【答案】169.（）已知为等比数列，则（ ）A.7B.5C.D.【解析】、是方程的两根，从而或，若，则，所以，若，则，所以.【答案】D10.（）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）A.lB.C.2D.【解析】.【答案】A11.（）已知等差数列满足，则k的值为（ ）A.10B.9C.8D.7【解析】.【答案】A12.（）设等差数列、的前n项和分别为、，若对任意正整数n都有，则的值为_.【解析】【答案】13.（）已知是等差数列，是其前n项和，若，点，O为原点，则的值为（ ）A.2023B.C.0D.1【解析】，所以，故，从而.【答案】A
