1、广州市六中2011-2012学年度第二学期期末 高二理科数学试题 注意事项：1本试题分为第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2答第卷前务必将自己的班级、姓名、考号涂写在答题卡上。3第卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。 4. 第卷必须在答题卡按题号标记位置处作答。参考公式：线性回归直线：。其中，第卷一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数,则（ ）A B C D2. 曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是(
2、 )A-9 B-3 C9 D153. 上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个场馆工作，要求每个场馆至少一人，则不同的分配方案有（ ）A.36 B.30 C.24 D.424. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则与 的值分别为 （） A、B、 C、 D、5. 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）。A. B.C. D.6. 已知，是的导数，若的展开式中的系数大于的展开式中的系数，则的取值范围是( )：A或 B C D或7. 一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概
3、率为，不得分的概率为（），已知他投篮一次得分的期望为，则的最小值为（ ）K*s#5uA B C D 8. 已知R上的连续函数 满足：当时，恒成立；对任意的都有。又函数 满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对任意实数x恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D. 第卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是 . 10. 已知且 为偶函数，则 11. 已知x、y的取值如下表所示x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且，则 12.已知，若向区域上随机投10个点，记落入区域
4、的点数为，则= 13. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 CABDO选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，圆上一点在直径上的射影为，则 15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为，则曲线C上的点到直线为参数）的距离的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次
5、数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。 17. (本小题满分12分) 已知数列中，（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）证明：18(本小题满分14分)第七届城市运动会2011年10月16日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工作，运动会组委会在某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“ 非高个子 ”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选
6、2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（II）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。19(本小题满分14分)设等差数列的首项，公差d2，前项和为，() 若成等比数列，求数列的通项公式；() 证明：,不构成等比数列20(本小题满分14分)已知函数，其中且.（1）求函数的导函数的最小值；（2）当时，求函数的单调区间及极值；（3）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.21. (本小题满分14分)设函数.（I）求函数的最小值；（）若，且，求证：；（）若，且，求证：.K*s#5u 广州市六中2011-2012学年度第二学期
7、第期末考试高二理科数学试题参考答案1. B 2.C 3.A 4.B 5. B 6.A 7. D 8. B 9.C4H10 10. -6 11. 12. 13. 14.10 15.16（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1-P（C）=1-P= ，解得P=4 分 （2）由题意，可取0,1,2,3，；P（=0）=，P（=1）=P（=2）=，P（=3）=12分所以，随机变量的概率分布列为：0123P10分故随机变量X的数学期望为： E=0 12分.17.解：（1） 可化为， 即3分是以3为首项，3为公比的等比数列 5分 （2）K*s#5u6分9分12分18.解：（1）根据茎叶图，有“高
8、个子”12人，“非高个子”18人，1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 2分所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人3分用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则 5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是 6分（）依题意，的取值为根据茎叶图可知男的高个子有8人，女的有4人；8分， ， 12分因此，的分布列如下： 14分19.()解：因为，3分由于若成等比数列；因此，即得 6分 ()证明：采用反证法不失一般性，不妨设对某个,构成等比数列，即7分因此有，化简得 9分 要使数列的首项存在，上式中的0然而10分(2m)28m(m1)4m (2
9、m)0，矛盾13分所以，对,不构成等比数列14分20.解：（I），其中.1分 因为，所以，又，所以，2分 当且仅当时取等号，其最小值为.3分 （II）当时，.K*s#5u5分 的变化如下表：00 6分所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.7分函数在处取得极大值，在处取得极小值.7分（III）由题意，.不妨设，则由得.8分令，则函数在单调递增. 9分在恒成立. 10分即在恒成立.因为，12分因此，只需.解得. 故所求实数的取值范围为. 14分21.解：（I），1分令，得，所以在递减，在递增. 2分所以.3分（）5分由（I）知当时，又，.7分（）用数学归纳法证明如下：1当时，由（）可知，不等式成立；K*s#5u2假设()时不等式成立，即若，且时，不等式成立8分现需证当()时不等式也成立，即证：若，且时，不等式成立. 9分证明如下：设，则.同理 .由+得：又由（）令，则，其中，则有 当时，原不等式也成立. K*s#5u综上，由1和2可知，对任意的原不等式均成立.