1、课时分层训练(六十七)几何概型(对应学生用书第330页)A组基础达标一、选择题1在区间0，上随机取一个实数x，使得sin x的概率为()A.B.C.D.C由0sin x，且x0，解得x.故所求事件的概率P.2若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图1066A.B.C.D.B设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).3(2018深圳二调)设实数a(0,1)，则函数f(x)x2(2a1)xa21有零点的概率为() 【导学号：79140364】A.B.C.D.D由函数f(x)x2(2a1)xa21有零点，可得(
2、2a1)24(a21)4a30，解得a，即有a1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P，故选D.4(2018湖北调考)已知圆C：x2y24，直线l：yx，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为()A.B.C.D.D如图所示，设与yx平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线yx的距离相等，过点A作AE垂直于直线yx，垂足为E，当点A到直线yx的距离为1时，AE1，又CA2，则ACE，所以ACBFCD，所以所求概率P，故选D.5已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是()A.B.C.D.A当点P到底面A
3、BC的距离小于时，VPABCVSABC.由几何概型知，所求概率为P1.6(2018西宁检测(一)已知平面区域D1(x，y)|x|2，|y|2，D2(x，y)|(x2)2(y2)24，在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是()A.B.C.D.C平面区域D1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D1与D2的公共部分是半径为2的圆，其面积为22，则所求概率为，故选C.7(2016全国卷)从区间0,1内随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
4、的近似值为()A.B.C.D.C因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个用随机模拟的方法可得，即，所以.二、填空题8.如图1067所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_图1067如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为.9一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行
5、，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P.10正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图1068所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_. 【导学号：79140365】图1068由对称性，S阴影4(1x2)dx4.又S正方形ABCD224，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P.B组能力提升11设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z
6、|1，则yx的概率为()A.B.C.D.D|z|1，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示当|z|1时，yx表示的是图中阴影部分因为S圆12，S阴影12.故所求事件的概率P.12在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2Bp2p1Cp2p1Dp1p2D如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE(如图(1)，其面积为，故p1，则p1p2，故选D.13. (2018太原模拟(二)如图1069，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空
7、出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图1069A.B.C.D.B设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为，则小正方形的面积为a24acos asin a2a2sin 2，则由题意，得，解得sin 2.因为，所以sin cos ，sin cos .由解得sin ，故选B.14(2018贵州适应性考试)已知区域(x，y)|x|，0y，由直线x，x，曲线ycos x与x轴围成的封闭图形所表示的区域记为A.若在区域内随机取一点P，则点P在区域A内的概率为()A.B.C.D.C区域(x，y)|x|，0y对应的区域是矩形，面积为24，区域A的面积为2cos xdx2sin，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P，故选C.15在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，ABAC，BAC120，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角为，则不大于45的概率为_. 【导学号：79140366】因为tan 1，所以AD1.在等腰三角形ABC中，当BD1或CD1时，AD1，又BC3，故所求概率为.16.如图10610，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_图10610设球的半径为R，则所求的概率为P.
