1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学 习 目 标核 心 素 养 1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.(重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直(难点)4.向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)1.通过学习平面向量数量积的学习，培养学生的数学抽象素养.2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1平面向量数量积的定义非零向量 a，b 的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cos.特别地，零向量与任一向量的数量积等于 0.思
2、考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：b 在 a 的方向上的投影为|b|cos；a 在 b 的方向上的投影为|a|cos.(2)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积思考：投影一定是正数吗？提示 投影可正、可负也可以为零3向量数量积的性质垂直向量ab0 平行向量同向ab|a|b|反向ab|a|b|向量的模aa|a|2 或|a|aa 求夹角cos ab|a|b|不等关系ab|a|b|4.向量数量积的运算律(1)abba(
3、交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)思考：a(bc)(ab)c 成立吗？提示(ab)ca(bc)，因为 ab，bc 是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c 与向量 c 共线，a(bc)与向量 a 共线因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立1已知单位向量 a，b，夹角为 60，则 ab()A.12 B.32C1 D12A ab11cos 6012.2已知向量 a，b 满足|a|1，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角 为()A.6B.4C.3D.2C 由条件可知，cos ab|a|b|21412，又0，3.3已知单位向量 a，b 夹
4、角为3，则|ab|_.1 单位向量 a，b 夹角为3，则|ab|a22abb212111211.4己知|a|1，(ab)a，则 ab_.1|a|1，(ab)a，可得：a2ab0，ab1.向量数量积的计算及其几何意义【例 1】(1)已知单位向量 e1，e2 的夹角为3，a2e1e2，则 a 在 e1 上的投影是_(2)已知向量 a 与 b 满足|a|10，|b|3，且向量 a 与 b 的夹角为 120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab)思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)32 设 a 与 e1 的夹角为，则 a 在 e1 上的投影为|a|cos ae1|e1|ae
5、1(2e1e2)e12e21e1e2 211cos332.(2)解(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10，|b|3，且向量 a 与 b 的夹角为 120，所以 ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2 200159206.求平面向量数量积的步骤 1求 a 与 b 的夹角，0，；2分别求|a|和|b|；3求数量积，即 ab|a|b|cos，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.求投影的两种方法：1b 在 a 方向上的投影为|b|cos 为 a，b 的夹角，a 在 b 方向上的投影为|a|cos.
6、2b 在 a 方向上的投影为，a 在 b 方向上的投影为跟进训练1(1)已知|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角 为 60，求：ab；(2ab)(a3b)(2)设正三角形 ABC 的边长为 2，ABc，BCa，CAb，求 abbcca.解(1)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b2 2|a|25ab3|b|2222533324.(2)|a|b|c|2，且 a 与 b，b 与 c，c 与 a 的夹角均为 120，abbcca 2 2cos 12033.与向量模有关的问题【例 2】(1)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_
7、.(2)已知向量 a 与 b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，求|b|.思路点拨：灵活应用 a2|a|2 求向量的模(1)2 3|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)222222122244412，所以|a2b|122 3.(2)解 因为|2ab|10，所以(2ab)210，所以 4a24abb210.又因为向量 a 与 b 的夹角为 45且|a|1，所以 41241|b|22|b|210，整理得|b|22 2|b|60，解得|b|2或|b|3 2(舍去)求向量的模的常见思路及方1求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用 a2|a|2，
8、勿忘记开方.2aaa2|a|2 或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.3一些常见的等式应熟记，如ab2a22abb2，ababa2b2 等.跟进训练2已知|a|b|5，向量 a 与 b 的夹角 为3，求|ab|，|ab|.解|a|b|5 且夹角 为3，|ab|2a22abb2 52255cos35275，|ab|2a22abb2 52255cos35225，|ab|5 3，|ab|5.与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设 a 与 b 都是非零向量，若 ab，则 ab 等于多少？反之成立吗？提示：abab0.2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向
9、量 a，b，如何求它们的夹角？提示：|ab|a|b|，设 a 与 b 的夹角为，则 ab|a|b|cos.两边取绝对值得：|ab|a|b|cos|a|b|.当且仅当|cos|1，即 cos 1，0或 时，取“”，所以|ab|a|b|，cos ab|a|b|.【例 3】(1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1ke2 与 ke1e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_(2)已知非零向量 a，b 满足 a3b 与 7a5b 互相垂直，a4b 与 7a2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于 0 且方向不相同(2)由
10、互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程，推出|a|与|b|的关系，再求 a与 b 的夹角(1)(0,1)(1，)e1ke2 与 ke1e2 的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e2 2k0，k0.当 k1 时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去 综上，k 的取值范围为 k0 且 k1.(2)解 由已知条件得 a3b7a5b0，a4b7a2b0，即7a216ab15b20，7a230ab8b20，得 23b246ab0，2abb2，代入得 a2b2，|a|b|，cos ab|a|b|12b2|b|212.0，3.1将本例(1)中的条件“
11、锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求 k 的取值范围解 e1ke2 与 ke1e2 的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k0，k0.当 k1 时，e1ke2 与 ke1e2 方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去 综上，k 的取值范围是 k0 且 k1.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“3”，求 k 的值解 由已知得|e1ke2|e212ke1e2k2e22 1k2，|ke1e2|k2e212ke1e2e22 k21，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k，则 cos3e1ke2ke1e2|e1ke2|ke1e2|2k1
12、k2，即 2k1k212，整理得 k24k10，解得 k4 1222 3.1求向量夹角的方法(1)求出 ab，|a|，|b|，代入公式 cos ab|a|b|求解(2)用同一个量表示 ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角 的范围 0，当 cos 0 时，0，2；当 cos 0时，2，当 cos 0 时，2.1两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a0，b0,090时)，也可以为负(当 a0，b0,90180时)，还可以为 0(当a0 或 b0 或 90时)2两非零向量 a，b，abab0，求向量模时要灵活运
13、用公式|a|a2.3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若 ab0，则 a 与 b 中至少有一个为 0.而在向量数量积的运算中，不能从 ab0 推出 a0 或 b0.实际上由 ab0 可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但 ab.(2)在实数运算中，若 a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量 a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当 ab 时等号成立这是因为|ab|a|b|cos|，而|cos|1.(3)实数运算满足消去律：若 bcca，c0，则有 ba.在向量数量积的运算中，若 abac(a0)，则向量 c，b 在向量 a 方向上的投影相同
14、，因此由 abac(a0)不能得到 bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线1对于向量 a，b，c 和实数，下列命题中真命题是()A若 ab0，则 a0 或 b0B若 a0，则 0 或 a0C若 a2b2，则 ab 或 abD若 abac，则 bcB A 错，当 a 与 b 夹角为2时，ab0；C 错，a2b2 即|a|b|；D 错，数量积不能约分；只有 B 对2(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3 C2 D0B 因为 a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213，所以选 B.3已知|a|3，|b|5，且 ab12，则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为_125 设 a 与 b 的夹角为，因为 ab|a|b|cos 12，又|b|5，所以|a|cos 125，即 a 在 b 方向上的投影为125.4已知|a|b|5，向量 a 与 b 的夹角为3，求|ab|，|ab|.解 ab|a|b|cos 5512252.|ab|ab2|a|22ab|b|2 252252 255 3.|ab|ab2|a|22ab|b|2 252252 255.