1、1.3.3已知三角函数值求角1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角.(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间2，2上对应的角.基础初探教材整理已知三角函数值求角的相关概念阅读教材P57P60内容，完成下列问题.1.已知正弦值，求角：对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin_y.2.已知余弦值，求角：对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在0，上有唯一的x值和它对应，记为xarccos_y(其中1y1,0x
2、).3.已知正切值，求角：一般地，如果ytan x(yR)且x，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan xy，记为xarctan_y.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在区间上，满足条件sin xa(1a1)的x有1个.()(2)在区间0,2上，满足条件sin xa(1a1)的x有2个.()(3)在区间0,2上，满足条件cos xa(1a1)的x有2个.()(4)在区间上，满足条件tan xa(aR)的x只有1个.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_
3、疑问4：_解惑：_疑问5：_解惑：_小组合作型已知正弦值求角已知sin x.(1)当x时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xR时，求x的取值集合.【精彩点拨】尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.【自主解答】(1)ysin x在上是增函数，且sin ，x， 是所求集合.(2)sin x0，x为第一或第二象限的角.且sin sin，在0,2上符合条件的角有x或x，x的取值集合为 .(3)当xR时，x的取值集合为 .1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.2.对于已知正弦值求角有如下规律：再练一题1.已知sin ，根据所给范围求角.
4、(1)为锐角；(2)R.【导学号：72010033】【解】(1)由于sin ，且为锐角，即，所以arcsin .(2)由于sin ，且R，所以符合条件的所有角为12karcsin (kZ)，22karcsin (kZ)，即n(1)narcsin (nZ).已知余弦值求角已知cos x，(1)当x0，时，求值x.(2)当xR时，求x的取值集合.【精彩点拨】解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合.【自主解答】(1)cos x且x0，xarccos.(2)当xR时，先求出x在0,2上的解.cos x，故x是第二或第三象限角.由(1)知x
5、arccos是第二象限角，又coscos，且2arccos，所以，由余弦函数的周期性知，当xarccos2k或x2arccos2k(kZ)时，cos x，即所求x值的集合是 .cos xa(1a1)，当x0，时，则xarccos a，当xR时，可先求得0,2内的所有解，再利用周期性可求得：x|x2karccos a，kZ.再练一题2.已知cos x且x0,2)，求x的取值集合.【解】由于余弦函数值是负值且不为1，所以x是第二或第三象限的角，由coscos ，所以在区间0,2)内符合条件的第二象限的角是x.又coscos ，所以在区间0,2)内符合条件的第三象限的角是x.故所求角的集合为 .已知
6、正切值求角已知tan 3.(1)若，求角；(2)若R，求角.【精彩点拨】尝试由arctan 的范围及给值求角的步骤求解.【自主解答】(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 3的角只有一个，即arctan(3).(2)karctan(3)(kZ).1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由ytan x的周期性表示所给范围内的角.2.tan a，aR的解集为|karctan a，kZ.再练一题3.已知tan x1，写出在区间2，0内满足条件的x.【解】tan x10，x是第二或第四象限的角.由tantan 1可知，所求符合条件的第四象限角为x.又由tantan 1得所求符合条件的
7、第二象限角为x，在2，0内满足条件的角是与.探究共研型三角方程的求解探究1已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？【提示】不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个.探究2怎样求解三角方程？【提示】明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccos a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角.若cos xcos，求x的值.【精彩点拨】先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角.【自主解答】在同一个周期，内，满足cos xcos的角有两个
8、：和.又ycos x的周期为2，所以满足cos xcos的x为2k(kZ).已知三角函数值求角的大致步骤(1)由三角函数值的符号确定角的象限；(2)求出0,2)上的角；(3)根据终边相同的角写出所有的角.再练一题4.已知sin x，且x0,2，则x的取值集合为_.【解析】x0,2，且sin x0，x(0，)当x时，ysin x递增且sin，x，又sinsin，x也适合题意.x的取值集合为.【答案】1.(2016石景山高一检测)下列说法中错误的是()A.arcsinB.arcsin 00C.arcsin(1) D.arcsin 1【解析】根据已知正弦值求角的定义知arcsin(1)，故C错误.【
9、答案】C2.若是三角形内角，且sin ，则等于()A.30 B.30或150C.60 D.120或60【解析】是三角形内角，0180.sin ，30或150.【答案】B3.已知cos x，x2，则x()A. B.C. D.【解析】因为x(，2)且cos x，x.【答案】B4.等腰三角形的一个底角为，且sin ，用含符号arcsin x的关系式表示顶角_.【导学号：72010034】【解析】由题意，又sin ，所以，2，2，所以arcsin.【答案】arcsin5.求值：.【解】arcsin ，arccos，arctan()，原式1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2
10、)_学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.下列叙述错误的是()A.arctan y表示一个内的角B.若xarcsin y，|y|1，则sin xyC.若tan y，则x2arctan yD.arcsin y，arccos y中的y1,1【解析】tan y，karctan y，x2k2arctan y，故C错.【答案】C2.已知sin ，0，则等于()A.arcsinB.arcsinC.arcsin D.arcsin【解析】0，sin ，所以arcsin.【答案】C3.若x且cos x，则x等于()A.arccos B.arccos C.arccos D.arccos
11、【解析】x，xarccosarccos .【答案】C4.(2016大连高一检测)若tan，则在区间0,2上解的个数为()A.5 B.4C.3 D.2【解析】tan，2xk(kZ).即x(kZ).x0,2，k1,2,3,4时，x分别为，.故选B.【答案】B5.直线x2y10的倾斜角为()【导学号：72010035】A.arctan B.arctan C.arcsin D.arccos【解析】直线x2y10可化为yx，直线斜率k，设直线倾斜角为，则tan ，故为钝角，cos ，arccos.【答案】D二、填空题6.(2016威海高一检测)函数yarccos(sin x)的值域为_.【解析】x，si
12、n x1，0arccos(sin x).【答案】7.(2016东营高一检测)若x是方程2cos(x)1的解，其中(0,2)，则角_.【解析】由条件可知2cos1，即cos，2k(kZ).(0,2)，.【答案】8.(2016日照高一检测)已知cos ，0,2)，则角_.【解析】因为cos ，所以是第一或第四象限角.又因为0,2)，所以arccos或2arccos.【答案】arccos或2arccos三、解答题9.已知sin ，且是第二象限的角，求角.【解】是第二象限角，是第一或第三象限的角.又sin 0，是第三象限角.又sin ，2k(kZ)，4k(kZ).10.(2016四川高一检测)已知ta
13、n 2，根据下列条件求角.(1)；(2)0,2；(3)R.【解】(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 2的角只有一个，即arctan(2).(2)tan 20，是第二或第四象限角.又0,2，由正切函数在区间、上是增函数知，符合tan 2的角有两个.tan()tan(2)tan 2，且arctan(2)，arctan(2)或2arctan(2).(3)karctan(2)(kZ).能力提升1.给出下列等式：arcsin1；arcsin；arcsin；sin.其中正确等式的个数是()A.1B.2C.3 D.4【解析】arcsin无意义；正确.【答案】C2.若直线x(1k1)与函数
14、ytan的图象不相交，则k()A. B.C.或 D.或【解析】要使函数ytan有意义则2xm，mZ直线x(1k1)与ytan的图象不相交，x时正切函数ytan无意义，即2m，4k4m1.当m0时，k，满足要求；当m1时，k满足要求；当m1时，k不满足要求，故满足条件的k或.【答案】C3.函数yarccos(2x3)的定义域是_.【解析】要使函数有意义，需有：解得：1x.【答案】4.若f (arcsin x)x24x，求f (x)的最小值，并求f (x)取得最小值时的x的值.【解】令tarcsin x，t，即sin tx，sin t1,1，于是f (t)sin2t4sin t，即f (x)(sin x2)24，x.1sin x1，当sin x1，即x时，f (x)取得最小值(12)243.
