1、函数中的等高线问题典型例题【例题】（2010新课标）已知函数，若、互不相等，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【解析】设，不妨设，如图，应有，且，所以.【答案】C变式1设，若，且，则的最小值为_.【解析】解法1：设，则，如图1，所以，从而设，则，故，所以在上，在上，从而，所以的最小值为.解法2：如图2，将直线向右平移至直线处使其与曲线相切，记切点为，过作水平线与射线相交于点，则由图可知的最小值即为，下面计算，因为，令得：，所以切点，联立解得： ，从而，所以的最小值为.【答案】变式2 设函数，若，则的最小值为_.【解析】解法1：设，则，故，设，则，所以，故在上，上，所以，从而的最小值为1.
2、解法2：将直线向右平移至直线处，使与曲线相切，如图，设切点为，过作水平线与直线交于点，则的最小值等于，接下来计算，令得：，故，即.【答案】1变式3 设函数，若，则的最小值为_.【解析】解法1：设，则，故，设，则，所以，故在上，在上，从而，所以的最小值为1.解法2：如图，设将的图象向左平移个单位恰好与的图象相切于点，设点横坐标为，则，解得：，所以的最小值为1.【答案】1强化训练1.（）已知函数，若，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【解析】设，则，所以.【答案】B2.（）设函数，若，则的最小值为_.【解析】解法1：设，则，所以，设，则，所以，故在上，在上，从而，即的最小值为.解法2：设将函数的图象向左平移个单位恰与的图象相切，则的最小值即为，因为，所以令得：，即切点为，代入得：，所以的最小值为.【答案】3（）已知，关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围为A.B.C.D.【解析】，不妨设，如图，有且，同理，故，和是方程的两根，由韦达定理，所以，函数和都是减函数，且当时二者都大于0，故，在上，其值域为，即.【答案】B4.（）设，若、若互不相等，且，则的取值范围为A.B.C.D.【解析】设，不妨设，如图，应有，所以.【答案】D5（）设函数，若互不相等的实数、满足，则的取值范围是A.B.C.D.【解析】不妨设，设，由图可知应有，且，所以，故.【答案】B
