1、第四节随机事件与古典概型A组基础题组1.(2016课标全国,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.B.C.D.2.对于事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则A,B之间的关系为()A.无法确定B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件3.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是()A.至多有1张移动卡B.恰有1张移动卡C.都不是移动卡D.至少有1张移动卡4.(2016江西宜春中学
2、、新余一中联考)已知集合M=1,2,3,N=1,2,3,4.定义映射f:MN,则从中任取一个映射,满足以点A(1,f(1),B(2,f(2),C(3,f(3)为顶点可构成三角形,且AB=BC的概率为()A.B.C.D.5.下面三行三列的方阵中有九个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A.B.C.D.6.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.7.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m,n,向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角记为,则的概率为.8.(2016江
3、西师大附中月考)设a1,2,3,b2,4,6,则函数y=lo是减函数的概率为.9.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.10.十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资
4、产监管,改革国有资本授权经营体制.恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车或投资文化地产,以推进混合所有制改革,使国有资源效益最大化.投资新能源汽车:投资结果盈利不赔不赚亏损概率投资文化地产:投资结果盈利不赔不赚亏损概率pq(1)当p=时,求q的值;(2)若恒天集团投资文化地产亏损的概率比投资新能源汽车亏损的概率小,求p的取值范围;(3)假设恒天集团和绿地集团都选择投资文化地产,且三种投资结果出现的可能性相同,求这两个集团中至少有一个集团盈利的概率.B组提升题组11.(2016安徽合肥质检)某校组织5名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不
5、是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为()A.B.C.D.12.在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为()A.B.C.D.13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39、32、33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是,他属于不超过2个小组的概率是.14.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为(结果用最简分数表示).15.在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,
6、C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时在A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)求五名志愿者中仅有一人在A岗位服务的概率.答案全解全析A组基础题组1.C小敏输入密码前两位的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.2.BP(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=+=,又P(AB)=,P(AB)=P(A
7、)+P(B),A,B为互斥事件.故选B.3.A“至多有1张移动卡”包含“1张是移动卡,1张是联通卡”“2张全是联通卡”两种情况,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.4.C集合M=1,2,3,N=1,2,3,4,映射f:MN有43=64种,以A(1,f(1),B(2,f(2),C(3,f(3)为顶点可构成三角形,且AB=BC,f(1)=f(3)f(2),f(1)=f(3)有4种选择,f(2)有3种选择,满足题意的映射有43=12种,所求概率为=.5.D从九个数中任取三个数的不同取法共有=84(种),取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有=6(种),所以至少有两个数位于同行或同列的概率为
8、1-=.6.答案解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个.记“logab为整数”为事件A,则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.P(A)=.7.答案解析依题意得a=(m,n)(m,n为正整数)共有36种情况,要使向量a与向量b=(1,0)的夹角,需满足n,则有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5),共15种情
9、况.所以所求概率为=.8.答案解析函数y=在区间(0,+)上是减函数,要使函数y=lo是减函数,则1,a1,2,3,b2,4,6,可取2,4,6,1,3,共7个值,其中大于1的有2,4,6,3,共5个值,函数y=lo是减函数的概率为.9.解析(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得所求各频率为所用时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)记事件A1,A2分别表
10、示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),乙应选择L2.10.解析(1)因为投资文化地产后,投资结果只有“盈利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以p+q=1.又p=,所以q=.(2)由恒天集团投资文化地产亏损的概率比投资新能源汽车亏损的概率小,得q.因为p+q=1
11、,所以q=-p.又因为q0,所以p.所以p.(3)记事件A为“恒天集团和绿地集团这两个集团中至少有一个集团盈利”,用a、b、c分别表示恒天集团投资文化地产“盈利”“不赔不赚”“亏损”,用x、y、z分别表示绿地集团投资文化地产“盈利”“不赔不赚”“亏损”,则恒天集团和绿地集团这两个集团都投资文化地产的所有可能投资结果有(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z),(c,x),(c,y),(c,z),共9种,事件A的所有可能结果有(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(c,x),共5种.因此,恒天集团和绿地集团这两个集团中至少有一个集团盈利的概率为.B组提升题组
12、11.A在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等,故“C第一个出场”的概率为.12.D二项式的展开式的通项是Tr+1=()n-r=2-r.依题意有+2-2=22-1=n,即n2-9n+8=0,所以(n-1)(n-8)=0,又n2,因此n=8.二项式的展开式的通项是Tr+1=2-r,展开式中的有理项共有3项,所求的概率等于=,故选D.13.答案;解析“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率为P=.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故“他属于不超过2个小组”的概率为P=1-=.14.答案解析解法一:概率为P=.解法二:概率为P=1-=.15.解析(1)记“甲、乙两人同时在A岗位服务”为事件EA,那么P(EA)=,即甲、乙两人同时在A岗位服务的概率是.(2)记“甲、乙两人同时在同一个岗位服务”为事件E,那么P(E)=,所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.(3)有两人同时在A岗位服务的概率P1=,所以仅有一人在A岗位服务的概率P2=1-P1=.
