1、课时规范练46抛物线基础巩固组1.(2018山东春季联考)已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.43.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线3x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为()A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y4.(2018广
2、东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若PF=2FQ,则|PQ|=()A.92B.4C.72D.35.(2018湖南师范大学附属中学三模,11)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.22B.6C.2D.36.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线C:y2=2px(p0),焦点为F,直线y=x与抛物线C交于O,A两点(O为坐标原点),过F作直线OA的平行线交抛物线C于B,D两点(其中B在第一象限
3、),直线AB与直线OD交于点E,若OEF的面积等于1,则抛物线C的准线方程为()A.x=-1B.x=-12C.y=-1D.y=-127.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.(2018安徽巢湖一模,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两
4、点向直线l2:x=-2作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2017广东江门一模,10改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若FB=4FA,则FAFB=.综合提升组11.(2018山东烟台模拟,6)已知直线l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点P为抛物线y2=-8x上的任一点,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为()A.2B.234C.181734D.16153412.(2017全国,文12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到
5、直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.3313.已知抛物线的方程为y2=2px(p0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若OAB为等边三角形,且面积为483,则p的值为.14.(2017安徽马鞍山一模,20)设动点P(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.创新应用组15. (2018北京城六区一模,2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中
6、,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,满足到直线AA1和CD的距离相等的点P()A.不存在B.恰有1个C.恰有2个D.有无数个16.(2018河北衡水模拟,20)已知抛物线C:y2=2px(p0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为22,且OCD的面积是OAB面积的3倍,求l1和l2的方程.课时规范练46抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到
7、准线l的距离是|a|2=4,故选C.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故选C.3.B由抛物线C的方程为x2=2py(p0),则焦点坐标F0,p2,所以焦点F0,p2到直线3x-y+3=0的距离为d=|-p2+3|2=p2,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选B.4.A设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由QFKQMP,得|FK|MP|=|QF|QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QP|=32,所以|PQ|=|PF|+|QP|=92.故选A.5
8、.B由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0=y1+y22=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=12,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=4+4m2=6,故选B.6.A7.C如图,分别过点A,B作AA1l于点A1,BB1l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.|BC|=2
9、|BF|,|BC|=2|BB1|.BCB1=30,AFx=60.连接A1F,则AA1F为等边三角形,过点F作FF1AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故抛物线方程为y2=3x.8.2由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.18+42由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),
10、B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x,消去y,得x2=-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是4,所以|CD|=|AB|sin 4=822=42,所以四边形ABCD的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+42=18+42.10.94由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D,则由抛物线的定义,|FA|=m+12,由BACBFD,得m+121=34,m=14.|FA|=34,|FB|=3,FAFB=|F
11、A|FB|=94.11.C抛物线y2=-8x的焦点为F(-2,0),准线为l1:x=2,P到l1的距离等于|PF|,P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(-2,0)到直线l2的距离d=|-6+0-30|9+25=181734.故选C.12.C由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MNl,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+2
12、3|(-3)2+12=23.13.2设B(x1,y1),A(x2,y2).|OA|=|OB|,x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,x22-x12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,x1+x2=2p0.x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点B,A关于x轴对称,由OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=33x,由y=33x,y2=2px,解得B(6p,23p),|OB|=(6p)2+(23p)2=43p.OAB的面积为483,34(43p)2=483,p=2.14.(1)解 由题意知,动点P
13、的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明 由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,则l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,x1=(k-2)2k2=k2-4k+4k2,同理x2=k2+4k+4k2.x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k.y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k.kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,即直线MN的斜率为定值-1
14、.15.D由于点P在侧面A1ABB1上,所以点P到直线AA1的距离为PA,所以点P为到定点A与到定直线CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个.故选D.16.解 (1)设直线AB方程为y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2b+2p)x+b2=0,=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=222bp+p2,当b=1时,|AB|=222p+p2,AB的中点为(1+p,p),依题意可知2(1+p+1)=222p+p2,解得p=2.所以抛物线方程为y2=4x.(2)点O到直线l1的距离为d=|b|2,SOAB=12|AB|d=12224b+4|b|2=2|b|b+1.因为平行线l1,l2之间的距离为22,所以直线CD方程为y=x-(b+1),SOCD=2|b+1|b+2.依题意可知32|b|b+1=2|b+1|b+2,即3b2(b+1)=(b+1)2(b+2),化简得2b2-3b-2=0,所以b=-12或b=2,满足0,所以l1:y=x+12,l2:y=x-12或l1:y=x-2,l2:y=x-3.