1、基本不等式考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)xy2，若xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)xy2，若xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大)提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条
2、件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视重要不等式链若ab0，则ab.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)若a0，则a3的最小值为2.()(3)函数f(x)sin x，x(0，)的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82Cxy281，当且仅当xy9时，等号成立故选C.2若x0，则x()A有最大值，且最大值为4B有最小值，且最小值为4C有最大值，且最大值为2D有最小值，且最小值为2Bx0时，
3、x24，当且仅当x2时等号成立故选B.3若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x10，则面积Sx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.4已知x2，则x的最小值为_6x2，x(x2)26. 考点一利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的三种方法直接法求最值典例11(1)(多选)(2020济南一中期中)设正实数a，b满足ab1，则()A.有最小值4B有最小值C.有最大值Da2b2有最小值(2)ab0，则的最小值为()A2B
4、 C3 D2(3)(2020天津高考)已知a0，b0，且ab1，则的最小值为_(1)ACD(2)A(3)4(1)对于选项A，因为a，b是正实数，且ab1，所以有2224，当且仅当ab时取等号成立，故A选项是正确的；对于选项B，因为a，b是正实数，所以有1ab2，即，当且仅当ab时取等号成立，故B选项是不正确的；对于选项C，因为a，b是正实数，所以有，即，当且仅当ab时取等号成立，故C选项是正确的；对于选项D，因为a，b是正实数，所以有，即a2b2，当且仅当ab时取等号成立，故D选项是正确的故选ACD.(2)ab0，22，当且仅当，即ab时等号成立，故选A.(3)由a0，b0，ab1得24，当且
5、仅当即时取等号，因此的最小值为4.点评：解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键配凑法求最值典例12(1)(2020大连模拟)已知a，b是正数，且4a3b6，则a(a3b)的最大值是()AB C3D9(2)已知不等式2xm0对一切x恒成立，则实数m的取值范围是()Am6Bm6Cm7Dm7(3)若4x1，则f(x)()A有最小值1B有最大值1C有最小值1D有最大值1(1)C(2)A(3)D(1)a0，b0,4a3b6，a(a3b)3a(a3b)223，当且仅当3aa3b，即a1，b时，a(a3b)取最大值是3.(2)由题意知，m2x对一切x恒成立，又x时，x10，则2
6、x2(x1)2226，当且仅当2(x1)，即x2时等号成立m6，即m6，故选A.(3)4x1，01x5，f(x)21，当且仅当1x，即x0时等号成立函数f(x)有最大值1，无最小值，故选D.点评：形如f(x)的函数，可化为f(x)的形式，再利用基本不等式求解，如本例T(3)常数代换法求最值典例13(1)(2020深圳市福田区模拟)已知a1，b0，ab2，则的最小值为()ABC32D(2)(2020广东高三月考)设x，y为正数，若x1，则的最小值是_，此时x_.(1)A(2)4(1)已知a1，b0，ab2，可得(a1)b1，又a10，则(a1)b12.当且仅当，ab2时等号成立则的最小值为.故选
7、A.(2)2224，当且仅当，且x1，即x，y1时等号成立母题变迁本例(2)中把“x1”改为“2xy4”，求的最小值及取得最小值时的x的值解因为2xy4，所以1，所以1122.当且仅当，且2xy4，即x1，y2时，等号成立所以的最小值为2，取得最小值时x1.点评：常数代换法主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值1设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A12B4 CDD由题意知3a3b(3)2，即3ab33，ab3，(ab)，当且仅当，即ab时等号成立，故选D.2(2019天津高考)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_4x0
8、，y0，x2y5，224，当且仅当2，即，即或时等号成立，因此的最小值为4. 考点二基本不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)x(a0)的单调性典例2(2020黄山模拟)常州市一乡镇，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位：元)已知这
9、种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位：元)(1)求f(x)的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？解(1)由已知f(x)10W(x)20x10x10W(x)30x则f(x)(2)由(1)f(x)变形得f(x)当0x2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(0)100f(2)240，f(x)maxf(2)240；当2x5时，f(x)51030，x128，当且仅当1x时，即x3时等号成立f(x)max510308270，因为240270，所以当x3时，f(x)max270.所以，当投入的肥料费
10、用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元点评：解答本例第(2)问时，把f(x)30x变形为f(x)51030是解题的关键1(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_30一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2240，当且仅当4x，即x30时等号成立，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小2一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得
11、小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_小时10设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个（400）km所用的时间，因此，t210.当且仅当，即v80时等号成立故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时备考技法1利用均值不等式连续放缩求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.(1)已知ab0，那么a2的最小值为_(2)若x，y是正数，则22的最小值是_(1)4(2)4(1)由题意ab0，则ab0，所以b(ab)2，所以a2a224，当且仅当bab且a2，即a，b时等号成立，所以a2的最小值为4.(2)x0，y0，222.又22xy24，224，当且仅当即xy时等号成立评析第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的若a，bR，ab0，则的最小值为_4因为ab0，所以4ab24，当且仅当时等号成立，故的最小值是4.
