1、折叠与落点有迹性【例题】如图，在RtABC中，ABC=90，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将ABP沿AP折叠，当点B的对应点B落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于【答案】10或.【解析】解：点B的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆，圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B，如图作出图形，分两种情况计算：连接BB，过B作BEBC于E，如下图所示，由题意知，BB=BC，BP=BP，BE=EC=4，BBAP，BBC=BCB，BBC+APB=90，BCB+CBE=90，APB=CBE，CBEAPB，,即，设BP=x，则BP=x，EP=4x，BE=x，在RtBP
2、E中，由勾股定理得：，解得：x=10（舍）或x=，即BP=；过A作AHMN于H，如图所示，AB=AB=5，AH=4，GH=5,BH=3，BG=8，设BP=x，则BP=x，PG=x4，在RtPGB中，由勾股定理得：，解得：x=10，即BP=10;综上所述，答案为：10或.【变式】如图，在边长为 3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB 上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠AED，点 A 的对应点为点 F，当点 F 落在等边三角形ABC的边上时，AE 的长为 【答案】1或5.【解析】解：第一步：确定落点，点F在以D为圆心，以线段AD的长为半径的弧上，如
3、下图所示，第二步，根据落点确定折痕（对称轴）（1）AD=DF=2，A=60，ADF是等边三角形，DE平分ADF，AE=EF=1；（2）如下图所示，由对称知，EFD=A=60，EFB+DFC=120，DFC+FDC=120，EFB=FDC，B=C=60，BEFCFD，,设AE=x，则BE=3x，即,BF=，CF=，BF+CF=3，即+=3，解得：x=5+（舍）或x=5，综上所述，答案为：1或5.1.如图，P 是边长为 3 的等边ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠B，使点 B 落在 AC 上，对应点为 D，折痕交 BC 于点 E，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为 【
4、答案】1或5.【解析】解：第一步确定落点，AC的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线；（1）如下图所示，由折叠性质得：B=EDP=60，CDE+ADP=120，A=C=60，ADP+APD=120，APD=CDE，CEDADP，设BP=DP=x，则AP=3x，CE=，DE=，DE=BE，CE+DE=CE+BE=3，即+=3，解得：x=；（2）如下图所示，当CD=1时，同理可得：，设BP=DP=x，则AP=3x，CE=，DE=，+=3，解得：x=；综上所述，PB的长为或.2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，EF分别是线段A
5、D，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为 【答案】4或42【解析】解：如图1所示：由翻折的性质可知PF=CF=4，ABFE为正方形，边长为2，AF=2PA=42如图2所示：由翻折的性质可知PF=FC=4ABFE为正方形，BE为AF的垂直平分线AP=PF=4故答案为：4或423.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为 【答案】4或
6、4【解析】解：第一步，确定落点，以E为圆心，AE的长为半径画弧，与BC的垂直平分线的交点即为A，第二步，作出折痕，求解.(1) 如下图所示，由折叠性质知：AE=AE=2，AF=AF，FAE=A=90，AM=AD=3，过E作EHMN于H，则四边形AEHM是矩形，MH=AE=2，由勾股定理得：AH=，AM=，由MF2+AM2=AF2，得（3AF）2+（）2=AF2，解得：AF=2，在RtAEF中，由勾股定理得：EF=4；（2）如下图所示，可得：AE=AE=2，AF=AF，FAE=A=90，过A作HGBC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，DH=AG，HG=AD=6，AH=AG=3，在R
7、tAEG中，由勾股定理得：EG=，DH=AG=AE+EG=3，在RtAHF中，由勾股定理得：AF=6，在RtAEF中，由勾股定理得：EF=4；故答案为：4或44.在矩形ABCD中，AB6，BC12，点E在边BC上，且BE2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C，D，折痕与边AD交于点F，当点B，C，D恰好在同一直线上时，AF的长为 【答案】，【解析】解：由折叠的性质得，ECDC90，CECE，点B、C、D在同一直线上，BCE90，BC12，BE2CE，BE8，CECE4，在RtBCE中，CBE30，当点C在B、D之间时，过E作EGAD于G，延长EC交AD于H，则四边形ABEG
8、是矩形，EGAB6，AGBE8，CBE30，BCE90，BEC60，由折叠的性质得，CEFCEF，CEFCEF60，ADBCHFECEF60，EFH是等边三角形，在RtEFG中，EG6，GF2，AF8+2；当点D在B、C之间时，过F作FGAD于G，DF交BE于H，同理可得：AF82，故答案为：或5.如图，在矩形ABCD中，AB5，BC3，点E为射线BC上一动点，将ABE沿AE折叠，得到ABE若B恰好落在射线CD上，则BE的长为 【答案】15或.【解析】解：第一步：确定落点，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交射线CD于B，分两种情况讨论；第二步，根据落点作出折痕，求解；（1）如下图所示，由折叠知
9、：ABAB5，BEBE，CE3BE，AD3，DB4，BC1，由勾股定理知：BE2CE2+BC2，BE2（3BE）2+12，BE；（2）如下图所示，ABAB5，CDAB，13，12，23，AE垂直平分BB，ABBF5，CF4，CFAB，CEFABE，即，CE12，BE15，故答案为：或156.如图，在等边三角形ABC中，AB2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为 cm【答案】或.【解析】解：N不与A重合，B落点不会在BC上，分两种情况讨论：（1）当B关于直线MN的对称点B落在AB边上时，此
10、时，MNAB，即BNM=90，ABC是等边三角形，AB2，M是BC中点，B=60，BM=,BN=BM=；（2）当点B关于直线MN的对称点B落在边AC上时，则MNBB，可得：四边形BMBN是菱形，BNBMBC，故答案为：或7.在矩形ABCD中，AB4，BC3，点P在AB上若将DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A处，则AP的长为 【答案】或.【解析】解：矩形对角线有两条，AC、BD，所以先以D为圆心以AD的长为半径作弧，与对角线AC、BD的交点即为A点；再作出AA的垂直平分线即为折痕；（1）点A落在矩形对角线BD上时，由AB4，BC3，得：BD5，根据折叠的性质，ADAD3，APAP，AP
11、AD90，BA2，设APx，则BP4x，由勾股定理得：BP2BA2+PA2，（4x）2x2+22，解得：x，AP；点A落在矩形对角线AC上，根据折叠的性质可知：DPAC，易证：ACB=APD，tanACB= tanAPD，AP =故答案为：或.8.如图，在ABCD 中，A60，AB8，AD6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 【答案】或.【解析】解：第一步确定落点，因为BC的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，第二步，确定落点后，画出折痕EF，求解.(1)如下图所示过点A作AHAB交AB的延长线于H
12、，则ABH=60，AB=2，BH=1，AH=,设AE=AE=x，则BE=8x，EH=9x，在RtAEH中，由勾股定理得：，解得：x=，即AE=;（2）如下图所示，过点A作AHAB交AB的延长线于H，则ABH=60，AB=4，BH=2，AH=2,设AE=AE=x，则BE=8x，EH=10x，在RtAEH中，由勾股定理得：，解得：x=5.6，即AE=5.6;综上所述，答案为：或5.6.9如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）连接BP，将ABP沿直线BP折叠，点A落在点A处，如果点A恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为 【答案】.【解析】解：由题意知，A落在对
13、角线BD上，连接AD，则B、A、D在同一直线上，APABPAD90，APAP，ABAB=1，BD，DABDBABDAB1，由正方形性质知，PDA=APD=45，AP=AP=AD=1，故答案为：110.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 【答案】(10,3).【解析】解：四边形A0CD为矩形，D（10，8），AD=BC=10，DC=AB=8，由折叠性质知：AD=AF=10，DE=EF，在RtAOF中，由勾股定理得：OF=6，FC=4，设EC=x，则DE=EF=8x，在RtCEF中，EF2=EC2+FC2，即（8x）2=x2+42，解得x=3，点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）
