1、湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二数学上学期第二次联考（12月）试题时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则( )A.B.C.D.2.已知函数，命题，若为真命题，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.3.已知，则，的大小关系为( )A.B.C.D.4.在首项为，公比不为的等比数列中，则的值为( )A.B.C.D.5.党的十九大报告中指出：从年到年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗年，基本实现社会主义现代化.若到年底我国人口数量增长至亿，由年到年的统计数据可得国内生产总值
2、()(单位：万亿元)关于年份代号的回归方程为，由回归方程预测我国在年底人均国内生产总值(单位：万元)约为( )A.B.C.D.6.若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为( )A.B.C.D.7.在中，角，的对边分别为，若角，成等差数列，直线平分圆的周长，则面积的最大值为( )A.B.C.D.8.打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的.常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造.该技术在珠宝、鞋类、工业设计、建筑、工程和施工，汽车航空航天、牙科和医疗产业、教育、地理信息系统、土木工程、枪支以及其他领域都有所应用.某校组织学生到工厂劳动实践，利用打
3、印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上四个顶点在圆锥底面上)，圆锥的底面直径和高都等于，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取，参考数据：，精确到)A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是( )A.若两直线的斜率相等，则两直线平行B.若，则C.若，则D.若，则10.已知方程表示焦点在轴上的圆锥曲线，则实数的取值范围可以是( )A.B.C
4、.D.11.已知点，分别是一个正方体的外接球和内切球上的动点，且，之间距离的最大值为，则( )A.正方体的体积为B.正方体的内切球的体积为C.正方体的外接球的表面积为D.，之间的距离最小值为12.将函数的图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，下列结论中：的图象关于点对称；在上的值域为；的图象关于直线对称；在区间上单调递减.其中正确的结论有( )A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_.14.某工厂为了对个零件进行抽样调查，将其编号为，.现要从中选出个，利用下面的部分随机数表，从第一行第列开始，由左至右依次读取，则选出来的第个零件编号是_. 15.在边长为
5、的等边中，点，分别是边，的中点，则的值为_.16.设函数，若对于，都有成立，则实数的取值为_.四、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)在中，角，所对边分别为，现有下列四个条件：；.(1)两个条件可以同时成立吗？请说明理由；(2)已知同时满足上述四个条件中的三个，请选择使有解的三个条件，求的面积.注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)在正项等比数列中，已知，的等差中项为.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19.(本小题满分12分)某质量检测部门为评估工厂某自动化设备生产零件的性能情况，从该自动化设备生产零件的流水线上随机抽取件零
6、件为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径(单位：)78798182838485件数113561933直径(单位：)86878889909193件数18443111经计算，样本的平均值，标准差，用频率值作为概率的估计值.(1)从该自动化设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，根据下列不等式评估该自动化设备的性能：；(表示相应事件的概率).等级评估方法为：若同时满足上述三个式子，则自动化设备等级为；若仅满足其中两个，自动化设备等级为；若仅满足其中一个，则自动化设备等级为；若全部都不满足，则自动化设备等级为.试评估该自动化设备性能的等级情况；(2)从样本中直径尺寸在之外的零件中随机抽取件，求至少
7、有件直径尺寸在之外的概率.20.(本小题满分12分)在四棱锥中，底面是边长为的菱形，为中点，设为平面与平面的交线.(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求证：平面平面；(3)若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)当时，求函数的极值点；(2)若，讨论函数在上的零点个数.22.(本小题满分12分)如图，已知椭圆，抛物线，过椭圆的左顶点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求证：点在定直线上；(2)若直线过点，交椭圆于，两点，交轴于点，且，当的面积最大时，求抛物线的方程.数学参考答案一二、选择题123456789101112CDCBBADA
8、BCDABCABDACD三、填空题13.14.15.16.四、解答题17.【解析】(1)由条件得，解得或(舍)，因为，所以；由条件得，因为，而在单调造减，所以.于是，与矛盾.所以不能同时满足.(2)因为同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满是，则满足三角形有解的所有组合为或.若选择组合：有，即，因为，所以，为直角三角形，所以，所以的面积.若选择组合：由，即，解得，因为，所以，所以的面积.18.【解析】(1)设正项等比数列的公比为，由题意知，所以，则，则，又，则，所以.(2)由题意得，令，其前项和为，则，两式相减得：，所以，而，所以数到的前项和.19.【解析】(1)，由图表知，所以该自动化设备
9、的等级为.(2)直径尺寸在之外的零件共件，分别记为，其中，为直径尺寸在之外的零件，从件零件中随意抽取件，所有情况：，共种，至少有一个在之外的所有情况：，共7种，记至少有件直径尺寸在之外为事件，则.20.【解析】(1)直线与平面平行.理由如下：由已知，平面，平面，则平面，又为平面与平面的交线，平面，则，进而平面.(2)连接，菱形中，为等边三角形，又为中点，又，则，又，平面，又，平面，又平面，平面平面.(3)平面平面，且交线为，平面，平面，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，可取，又平面的法向量可取，由题意得，解得，即，又菱形的面积为，四
10、棱锥的体积为.21.【解析】(1)当时，当时，当时，当时，故函数的极小值点为，极大值点为.(2)，当时，在上为单调递增函数，此时函数的零点个数为；当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，当时，此时函数在上的零点个数为；当时，此时函数在上的零点个数为；当时，此时函数在上的零点个数为.综上，当时，函数在的零点个数为；当时，函数在上的零点个数为；当时，函数在上的零点个数为.22.【解析】(1)证明：因为过点的直线交抛物线于，两点，则直线的斜率存在且不为，设，由，有，且，因，则点是的中点，有，可得，进而可得，即点在定直线上.(2)由，知的倾斜角和直线的倾斜角互补，则与的斜率满足，可设的方程为，即，设，由，有，因点是的中点，则，点到的距离，令，当且仅当，时等号成立，此时，抛物线方程为.