1、四边形1如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且EAF45，将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，连接EQ（1）求证：EA是QED的平分线；（2）已知BE1，DF3，求EF的长【详解】证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，QBDF，AQAF，BAQDAF，EAF45，DAF+BAE45，QAE45，QAEFAE，在AQE和AFE中，AQEAFE（SAS），AEQAEF，EA是QED的平分线；（2）由（1）得AQEAFE，QEEF，ADFABQ，四边形ABCD是正方形，ADBABD45，ABQ45，QBEABQ+ABD90，在RtQBE中，QB2+BE2QE
2、2，又QBDF，EF2BE2+DF21+910，EF2四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35时，求EFC的度数【详解】解：（1）证明：如图，作EPCD于P，EQBC于Q， 四边形ABCD为正方形，DCABCA45，EQEP， 矩形DEFG， PED+PEF90，QEF+PEF90，QEFPED，在RtEQF和RtEPD中， ，RtRt（ASA），EFED，矩形DEFG是正方形；（2）当DE与AD的夹角为35时
3、，如图2，ADE35，ADC90，EDC55， 当DE与DC的夹角为35时，如图3，即交于， EDCEFC35，综上所述：EFC35或1253如图所示，四边形中，以，为边作平行四边形，的延长线交于，求证：.【详解】证明：如图，延长FC交AD于点G，四边形CDEF为平行四边形，CFDE，CF=DE，又CEAD，四边形CEDG为平行四边形，CG=DE，CF=CG，且BCAG，BC是FAG的中位线，B为AF的中点，即AB=FB4如图1，已知正方形和正方形，点在同一直线上，连接，与相交于点（1）求证：（2）如图2，是边上的一点，连接交于点，且求证：；若，直接写出的值【详解】解：（1）四边形ABCD和四
4、边形CEGF是正方形，BC=CD=AB，CE=CF，BCE=DCF=90BCEDCF（SAS），BE=FD；（2）四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，CD/GE，GF=EC，BC=CDAB=CD5如图1，已知正方形ABCD，AB4，以顶点B为直角顶点的等腰RtBEF绕点B旋转，BEBF，连结AE，CF（1）求证：ABECBF（2）如图2，连结DE，当DEBE时，求SBCF的值（3）如图3，当RtBEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC
5、，ABC90，EBF90ABC，ABECBF，又BEBF，ABBC，ABECBF（SAS）；（2）如图2，过点E作EHAB于H，ABECBF，SABESCBF，ADAB，AEAE，DEBE，ADEABE（SSS），DAEBAE45，EHAB，EABAEH45，AHEH，BE2BH2+EH2，10BE2+（4BE）2，BE1或3，当BE1时SABESCBFABEH411，当BE3时SABESCBFABEH436，（3）如图3，过点P作PKAE于K，由（1）同理可得ABECBF，EABBCF，BAE+CAE+ACB90，BCF+CAE+ACB90，AGC90，AGCADC90，点A，点G，点C，点
6、D四点共圆，ACDAGD45，PKAG，PGKGPK45，PKGKPG，MP+PGMP+PK，当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，如图4，过点B作BQCF于Q，BEBF，EBF90，BQEF，EF2，BQEQFQ，CQ，CECQEQ，MKAE，CEAE，MKCE，又M是CD的中点，DC2DM，MPCE6如图，在正方形中，点、均为中点，连接、交于点，连接，证明：【详解】证明：如图，延长至，使得，连接，在正方形中，、分别是、的中点，在和中，在和中，是等腰直角三角形，即7如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使（1）求证：；（2）求证：；
7、（3）若，求AB的长【详解】（1）证明：因为ABCD是正方形所以在三角形BGA中，因为（2）过点C作，因为ABCD是正方形，所以AB=BC，由（1）所以在三角形CHF中，所以（3）在三角形CHF中，8已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上（1）如图1，DEFG，求证：BFAE+AG；（2）如图2，DEDF，P为EF中点，求证：BEPC；（3）如图3，EH交FG于O，GOH45，若CD4，BFDG1，则线段EH的长为 【详解】解：（1）如图1，过点G作GMBC于M，则GMBGMF90，四边形ABCD是正方形，ADAB，AB90，四边形ABMG是矩形，AGBM
8、，DEGF，ADE+DGFADE+AED90，AEDDGF，又DGFMFG，AEDMFG，DAEGMF（AAS），AEMF，则BFBM+MFAG+AE；（2）如图2，过点E作EQPC，交BC于点Q，P是EF的中点，PC是EQF的中位线，则EQ2PC，QCCF，ADCEDF90，ADECDF，又ADCF90，ADCD，ADECDF（ASA），AECFQC，ABBC，BEBQ，则BEQ45，EQBE，则2PCBE，BEPC；（3）如图3所示，作BMGF交AD于M，作BNEH交CD于N，则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，BMGF，BFMG1，BNEH，DG1，CDAD4，AM2，延长DC
9、到P，使CPAM2，BABC，ABCP90，BAMBCP（SAS），ABMCBP，BMBP，GOH45，BNEH，BMGF，MBN45，ABM+CBN45，CBP+CBN45，即PBN45，MBNPBN（SAS），MNPN，设CNx，则MNPNCN+PCx+2，DN4x，在RtDMN中，由DM2+DN2MN2可得22+（4x）2（x+2）2，解得x，则EHBN，故答案为：9已知：四边形为正方形，是等腰，（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接试写出此时三线段、的数量关系并加以证明若，求：正方形的边长以及中
10、边上的高【详解】（1）证明：如图1，延长CB到G，使BG=DF，连接AG，四边形ABCD是正方形，D=ABC=DAB=ABG=90，AD=AB，在ADF和ABG中，ADFABG（SAS），AG=AF，DAF=BAG，EAF=45，EAG=EAB+BAG=EAB+DAF=45，EAF=EAG，AE=AE，EAFEAG，EF=EG=EB+BG=EB+DF（2）三线段、的数量关系是：，理由如下:如图2，在上取一点，使连接，同(1)可证，AG=AF，DAF=BAG，是等腰直角三角形，在和中，如图2，过F作FHAE于H，设正方形ABCD的边长是x，则BC=CD=x，CE=6，DF=BG=2，EF=GE=
11、CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，在RtFCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2，（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，AG=AF=，FAM=45，FH=AF=，即AEF中AE边上的高为10如图，在边长为的正方形ABCD中，作ACD的平分线交AD于F，过F作直线AC的垂线交AC于P，交CD的延长线于Q，又过P作AD的平行线与直线CF交于点E，连接DE，AE，PD，PB（1）求AC，DQ的长；（2）四边形DFPE是菱形吗？为什么？（3）探究线段DQ，DP，EF之间的数量关系，并证明探究结论；（4）探究线段PB与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论【详解】解
12、：（1）AC=，CF平分BCD，FDCD，FPAC，FD=FP，又FDQ=FPA，DFQ=PFA，FDQFPA（ASA），QD=AP，点P在正方形ABCD对角线AC上，CD=CP=a，QD=AP=AC-PC=；（2）FD=FP，CD=CP，CF垂直平分DP，即DPCF，ED=EP，则EDP=EPD，FD=FP，FDP=FPD，而EPDF，EPD=FDP，FPD=EPD，EDP=FPD，DEPF，而EPDF，四边形DFPE是平行四边形，EFDP，四边形DFPE是菱形；（3）DP2+ EF2=4QD2，理由是：四边形DFPE是菱形，设DP与EF交于点G，2DG=DP，2GF=EF，ACD=45，F
13、PAC，PCQ为等腰直角三角形，Q=45，可得QDF为等腰直角三角形，QD=DF，在DGF中，DG2+FG2=DF2，有（DP）2+（EF）2=QD2，整理得：DP2+ EF2=4QD2；（4）DFQ=45，DEFP，EDF=45，又DE=DF=DQ=AP=，AD=AB，ADEBAP（SAS），AE=BP，EAD=ABP，延长BP，与AE交于点H，HPA=PAB+PBA=PAB+DAE，PAB+DAE+HAP=90，HPA+HAP=90，PHA=90，即BPAE，综上：BP与AE的关系是：垂直且相等.11如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在ABC中，C=90
14、，则AC2+BC2AB2我们定义为“商高定理”。（1）如图1，在ABC中，C=90中，BC4，AB5，试求AC_；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）如图3，分别以RtACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE已知BC4，AB5，求GE2的值【详解】解：（1）：在ABC中，C=90中，BC=4，AB=5，AC=3，故答案为：3；（2）证明：在RtDOA中，DOA=90，OD2+OA2=AD2，同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，AB2
15、+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解：连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，如图3所示：四边形BCFG和四边形ABED都是正方形，GBC=EBA=90，AB=BE=5，BG=BC=4，GBC+CBA=EBA+CBA，ABG=EBC，在ABG和EBC中，ABGEBC（SAS），BAG=BEC，AJI=EJB，EBJ=AIJ=90，AGCE，由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2，在RtCBG中，CG2=BC2+BG2，即CG2=42+42=32，在RtABE中，AE2=BE2+AB2，
16、即AE2=52+52=50，在RtABC中，AB2=AC2+BC2，即52=AC2+42，AC2=9，AC2+GE2=CG2+AE2，即9+GE2=32+50，GE2=7312已知：在正方形ABCD中，AB3，E是边BC上一个动点（点E不与点B，点C重合），连接AE，点H是BC延长线上一点过点B作BFAE，交AE于点G，交DC于点F（1）求证：AEBF；（2）过点E作EMAE，交DCH的平分线于点M，连接FM，判断四边形BFME的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，EMC的正弦值为，求四边形AGFD的面积【详解】解：证明：（1）在正方形ABCD中，ABEBCF90，ABBC，BAE+AB
17、F90，CBF+ABF90，BAECBF，且ABEBCF90，ABBC，ABEBCF（ASA）AEBF，（2）四边形BFME是平行四边形理由如下：如图1：在AB上截取BNBE，ABEBCFBAEFBCABBC，BNBE，ANEC，BNE45ANE135CM平分DCHDCMMCH45ECM135ANEAEEMAEB+MEC90，AEB+BAE90BAEMEC，且ANEC，ANEDCMANEECM（SAS）AEEM，BAEMECBAEFBCMECBFEM，且BFAEEM四边形BFME是平行四边形（3）如图2，连接BD，过点F作FNBD于点N，四边形ABCD是正方形，ABBCCD3，DBCBDC45，BD3，DBF+FBC45MCHMEC+EMC45，FBCMECEMCDBFsinEMCsinDBF设NFa，BF10a，BDC45，FNBDDNNFa，DFNF2aBN3aBF2NF2BN2，98a2（3a）2，a DF2FCABEBCFBECF，EC，BFFBCFBC，BGEBCFBGEBCF BG，GES四边形ADFGS四边形ADECS四边形ECFG，S四边形ADFG
