1、第19课时本章复习 教学过程一、数学运用【例1】如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别是AB和AA1的中点,(图1)求证:(1) E, C, D1, F四点共面;(2)若Q是A1C与平面ABC1D1的交点,则B, Q, D1三点共线.处理建议学生思考,说出需要用到的公理或定理,教师规范板书.证明(1) 因为E, F分别是AB和AA1的中点,连结EF,所以EFA1B.又因为A1BCD1,所以EFCD1.所以E, F, C, D1四点共面.(2) 因为Q是A1C与面ABC1D1的交点,所以Q是A1C的中点.又因为A1D1BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形
2、.所以A1C与BD1互相平分.所以Q是BD1的中点,即B, Q, D1三点共线.题后反思(1) 证明四点共面问题往往通过证明两条直线共面(相交或平行)来解决;(2) 证明三点共线的方法有很多,除了平面几何中的方法之外,还可以通过公理2,即两个平面相交一定相交于一条直线等方法来解决.【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形, N是PB中点,过A, N, D三点的平面交PC于M.(1) 求证:DP平面ANC;(2) 求证:DMPC. (图2)处理建议学生思考,能说出解决问题的基本思路和途径,学生板演书写过程,其他学生进行评价、修正书写规范.证明(1) 连结BD
3、交AC于O,连结ON,则O是BD中点,则ONPD,又PD面ANC,所以DP平面ANC.(2) 因为ADBC,则AD平面PBC,又AD平面ADMN,平面ADMN平面PBC=MN,则ADMN,所以BCMN,又N是PB中点,所以M是PC中点.又因为底面ABCD是菱形,侧面PAD是正三角形,所以PD=DC,所以DMPC.题后反思(1) 证明直线与平面平行的方法主要有两种:一是在面内找一条线与已知直线平行,利用直线与平面平行的性质定理解决问题,二是通过平面与平面平行的性质定理解决问题.本题比较好的做法是在面内找线,在三角形中利用三角形的中位线得到线线平行.(2) 本题需要用到直线与平面平行的判断与性质,
4、要强调定理使用的条件写完整.变式(2012江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1, D, E分别(图3)是棱BC, CC1上的点(点D 不同于点C),且ADDE, F为B1C1的中点.求证:(1) 平面ADE平面BCC1B1;(2) 直线A1F平面ADE.处理建议学生自己独立完成,并能说清证明问题的思路,教师总结、评价.解析(1) 因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.又AD平面ABC,所以CC1AD.又因为ADDE, CC1, DE平面BCC1B1, CC1DE=E,所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE,所以平面ADE平面BCC1B1.(
5、2) 因为A1B1=A1C1, F为B1C1的中点,所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,所以CC1A1F.又因为CC1, B1C1平面BCC1B1, CC1B1C1=C1,所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1,所以A1FAD.又AD平面ADE, A1F平面ADE,所以A1F平面ADE.题后反思(1) 证明平面与平面垂直的方法是通过证明直线与平面垂直来实现,关键是要在其中一个平面中找一条直线和另一个平面垂直;(2) 本题第(2)问是在平面内找一条直线与已知直线平行,在平行四边形中证明其平行.【例3】(2011江苏高考)如图,在四棱锥P-
6、ABCD中,平面PAD平面ABCD, AB=AD, BAD=60, E, F分别是AP, AD的中点,求证:(1) EF平面PCD;(2) 平面BEF平面PAD.(图4)处理建议学生先独立思考,讨论交流,得到解决问题的一般方法,师生共同进行总结、归纳.解析(1) 在PAD中,因为E, F分别为AP, AD的中点,所以EFPD.又因为EF平面PCD, PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.(2) 连结BD.因为AB=AD, BAD=60,所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD, BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.又因
7、为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.题后反思(1) 本题可以用三种方法予以证明:用平行投影在平行四边形中证明两条直线平行,从而得到线面平行;用中心投影在三角形中证明两条直线平行,从而得到线面平行;通过证明面面平行得到线面平行,注意面面平行判断的条件.(2) 面面垂直的性质应用是难点,在书写过程中要交待清楚4个条件:两个平面垂直;两个平面相交于一条直线;一条直线在其中一个平面内;这条直线垂直于交线.变式如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E, F分别是A1B, A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.求证:(1) EF平面ABC;(2) 平面A1FD平面BB1C1C.(图5)处
8、理建议学生自行完成此题.1. (1) 由E, F分别是A1B, A1C的中点知EFBC.因为EF平面ABC, BC平面ABC,所以EF平面ABC.(2) 由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1,故CC1A1D.又因为A1DB1C, CC1B1C=C, CC1, B1C平面BB1C1C,故A1D平面BB1C1C.又A1D平面A1FD,所以平面A1FD平面BB1C1C.【例4】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1, BB1=2,E是棱CC1上的点,且CE=CC1.(图6)(1) 求三棱锥C-BED的体积;(2) 求证:A1C平
9、面BDE.处理建议学生独立思考空间几何体体积的解决方法,师生共同总结、归纳结论.(1) 解 CE=CC1=, VC-BDE=VE-BCD=SBCDCE=11=.(2) 证明连结AC, B1C. AB=BC, BDAC. A1A底面ABCD, BDA1A. A1AAC=A, BD平面A1AC. BDA1C. tanBB1C=, tanCBE=, BB1C=CBE. BB1C+BCB1=90, CBE+BCB1=90, BEB1C. BEA1B1, A1B1B1C=B1, BE平面A1B1C, BEA1C. BDBE=B, BE平面BDE, BD平面BDE, A1C平面BDE.题后反思对于求多面体
10、的体积,除有些问题可直接运用体积公式外,一般是转化为求三棱锥的体积,在求三棱锥的体积中,有时候锥体的高不易求得,此时可以用转换顶点,或运用等底等高原理的方法来解决.另外通常还用体积法来求点到平面的距离问题.变式如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD, ABDC, PAD是等(图7)边三角形,已知BD=2AD=4, AB=2DC=2.(1) 求证:BD平面PAD;(2) 求三棱锥A-PCD的体积.处理建议学生自行完成此题.(1) 证明在ABD中,由于AD=2, BD=4, AB=2, AD2+BD2=AB2. ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, BD
11、平面ABCD, BD平面PAD.(2) 解过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD, PO平面ABCD.(图8) PAD是边长为2的等边三角形, PO=.由(1)知,ADBD,在RtABD中,斜边AB边上的高为h=. ABDC, SACD=CDh=2. VA-PCD=VP-ACD=SACDPO=2=.(二) 课堂练习1. 下列命题中:平行于同一直线的两个平面平行;平行于同一平面的两个平面平行;垂直于同一直线的两直线平行;垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的是.(填序号)2. 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形,侧棱长均为2,则该三棱锥的体积为.3. 如图,在四棱锥P-ABCD中,
12、PA底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足MDPC或MBPC时,平面MBD平面PCD.(第3题)(第4题)4. 如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2, AA1=4, AB=2, M, N分别是棱CC1, AB中点.(1) 求证:CN平面ABB1A1;(2) 求证:CN平面AMB1;(3) 求三棱锥B1-AMN的体积.(1) 证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,且CN平面ABC,所以AA1CN.因为AC=BC=2, N是AB中点,所以CNAB.所以CN平面ABB1A1.(第4题答图)(2) 证明:取AB1的中点G,连结GM, GN.因为N, G分别是棱AB, A, B1中点,所以NGBB1, NG=BB1.又因为CMBB1, CM=BB1,所以CMNG, CM=NG,所以四边形CNMG是平行四边形. 所以CNMG.因为CN平面AMB1, MG平面AMB1, 所以CN平面AMB1. (3) 由(2)知MG平面AB1N,所以=4=.(三) 课堂小结1. 证明线线平行、线面平行、面面平行一般有哪些方法,这三种平行关系之间有怎样的联系?2. 证明线线垂直、线面垂直、面面垂直一般有哪些方法,这三种垂直关系之间有怎样的联系?3. 怎样求三棱锥的体积?