1、第 1页，共 13页一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 12，3，则 A.-11，2，3B.-11，C.13D.1【答案】D【解析】【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时注意交集定义的合理运用先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 的值【解答】解：集合 12，3，3 3，1故选 D.11 11 A.3B.1C.3D.1【答案】D【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题利用两角和的正弦函数公式计算得结论【解答】解：11 11 sin1 1 3 1，故选 D3.函数 sin 3 的图象经过下列平移，所得图象对应的函数为偶函数的是A
2、.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位【答案】C【解析】解：函数 sin 3，设平移个单位后，函数为偶函数，即 sin 3 为偶函数，那么：3 ，解得：1第 页，共 13页当 时，可得 1向左平移1个单位故选：C利用函数 的图象变换规律，可得结论本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题4.3tan11 3tan1 A.0B.1C.3D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查两角差的正切公式，熟练公式式解题的关键【解答】解：原式111 tan 1 1，故选 B5.已知函数 为定义在 上的偶函数，且当 时，lg，函数 sin，则函数 与 的交点个数为A.6B.
3、8C.10D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题【解答】解：由题意 与 都是偶函数，是周期为的周期函数，时，是增函数，在上有两个交点，在上有两个交点，在上无交点，在上有一个交点，因此在 R 上它们有 10 个交点故选 C6.已知幂函数 1的图象过点，设 ，则A.B.C.D.【答案】A【解析】解：幂函数 1的图象过点，1 1 ，解得 ，3，第 3页，共 13页 3，在 是增函数，ln3 1，3 ln3，即 故选：A由幂函数 1的图象过点，列方程组求出 ，3，从而 3，可得 在 是增函数，即可比较 a，b，c 的大小本题考查三个数的大小的比较
4、，考查幂函数的图象与性质，对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.已知 .3.log.3，则 a，b，c 的大小关系是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查幂函数及对数函数的性质，由幂函数的性质得 a，b 的大小，由对数函数的性质得 c 的范围即可求解【解答】解：因为函数 .在第一象限递增，所以 ，又 log.3 ，所以 故选 B8.函数 1 的部分图象大致为第 页，共 13页A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性以及特殊点即可得解，属于一般题通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图
5、象即可【解答】解：函数 1 ，可知：是奇函数，所以函数 的图象关于原点对称，则函数 1 的图象关于1对称，排除 B当 1时，排除 A、C故选 D9.已知函数 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是A.1B.1C.1 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考查方程思想，运算求解能力，属于中档题由分段函数，分别判断 时，时，的单调性，可得恰有一个零点，由对数函数的单调性，即可得到 a 的范围【解答】第 页，共 13页解：由函数 ，可得 时，log 递增，最多一个零点；时，为增函数，最多一个零点当 时，即有 log，由 ，可得 1当 时，可得
6、 或 舍去，则实数 a 的取值范围是1 故选 C10.若函数 log 1的两个零点是 m，n，则A.mn1B.mn1C.mn1D.以上都不对【答案】C【解析】解：令 得log 1，则 log与 1的图象有 2 个交点，不妨设 ，1，作出两个函数的图象如图：1 1，即 log log，log log ，即log ，1故选：C结合图象得出log和log的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题11.已知为第二象限角，33，则 A.3B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用
7、，求得 第 页，共 13页 13 是关键，属于中档题由为第二象限角，可知 ，从而可求得 13，利用 可求得【解答】解：33，两边平方得：1 13，3，1 3，为第二象限角，13，13 333 故选 A12.已知函数 ，给出下列四个说法：；函数 的周期为；在区间-上单调递增；的图象关于点-中心对称其中正确说法的序号是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的单调性、奇偶性和周期性，对称性的综合应用问题，是综合题，属于较难题由已知计算 13的值即可；计算 与 的值，由 判断错误；时 1，是单调增函数；计算 与 3 的值，由 3，判断错误，即可得结果【解答】第 7页，共 13
8、页解：对于，13 71 3 cos3 sin3 3，正确；对于，因为 cos sin 1，cos sin 1，错误；对于，当 时，1，在区间 上单调递增，正确；对于，cos sin 1，3 cos sin 1，则 3，所以 的图象不关于点 中心对称，错误；综上，正确的命题序号是故选 B二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知sincos 1，则 _【答案】1【解析】解：sincos 1，可得：tan1 1，解得 1故答案为：1；利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可本题考查同角三角函数基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力14.函数
9、log1 的单调减区间为_【答案】1【解析】【分析】主要考查了复合函数的单调区间，以及对数函数的性质问题【解答】解：令 1 ，得 1第 页，共 13页t 在 1上是减函数，根据复合函数的单调性可知：函数 的单调递减区间为 1故答案为 115.已知 3 1，求 _【答案】1 1【解析】解：3 1，设 3，则 1 3，那么：函数 3 1 转化为 1 3 1 3 1整理得：1 1，故得 1 1，故答案为：1 1 利用换元法求解即可本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题16.下列说法：正切函数 tan 在定义域内为增函数；函数 cos3 是奇函数；是函数 sin 的一条对称轴方程；扇形的
10、周长为 8cm，面积为，则扇形的圆心角为 2rad；若是第三象限角，则sinsincoscos取值的集合为 其中正确的是_.写出所有正确答案的序号【答案】【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查了 型函数的图象和性质，是中档题【解答】解：对于，函数 在定义域内不是单调函数，故错误；第 页，共 13页对于，函数 cos3 sin3，函数 是奇函数，故正确；对于，把 代入函数 sin ，得到：1，故正确；对于，设扇形的弧长为：l 半径为 r，所以 o ，1 o ，所以 ，o ，所以扇形的圆心角的弧度数是：，故正确；对于，角的终边在第三象限，则 3 ，当在第二象限时，则sinsincosc
11、os，当在第四象限时，则sinsincoscos，故不正确，综上所述，正确，故答案为三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分）17.已知函数 3 17的定义域为集合 A，1，11求 ，若 ，求实数 a 的取值范围【答案】解1 3 7，1；3 或 7 1 分当 时，1，1当 时，1 1 1，即 1 或 分【解析】1先求出集合 A，再求 ，即可；分 和 两类情况来解本题主要考查集合的子交并补集的运算，属于基础题18.计算：（1）13 3 lg11 33第 1页，共 13页【答案】解：13 3 lg11 33 1 3 【解析】利用指数、对数性质、运算法则直接求解本题考查对数式、指数式化简求值
12、，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则的合理运用（2）已知 ，求cos3sin sincos的值【答案】解：由 ，则 3 3 3 3 3 1【解析】本题考查诱导公式及运用，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算能力，属于基础题运用诱导公式和同角的商数关系先化简再代入求值19.已知函数 的图象如图所示1求 A，的值；若 1，求 的值域【答案】解：1设函数 的最小正周期为 T，由图象知：，1 1 ，所以周期 ，从而 第 11页，共 13页因为函数图象过点 1，所以 sin 1因为 ，所以 ，所以 ，解得 3 因此 ，3 由1知 3.因为 1，所以3 3 ，所以 3 sin 3
13、1，从而函数 的值域为 3【解析】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题1由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出，由五点法作图求出的值由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得 的值域20.某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图.注：利润和投资单位：万元1分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产，怎样分配这
14、18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【答案】解：1根据题意可设 ，则 .，设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入1 万元，该企业可获总利润为 y 万元则 1 1 ，1，令 ，3，则 1 1 1 17 所以当 时，17 .，此时 1，1 第 1页，共 13页所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为.万元【解析】1根据题意可设 ，代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式，设投入 B 产品 x 万元，则投入 A 产品1 万元，利润为 y 万元则 1 1 ，1，利用二次函数的性质即可求出本题考查的知识点是函数的选择与应
15、用，函数的最值，难度不大，属于中档题21.已知 sincos 3cos 31求函数 的对称轴方程；求函数 在上的单调递增区间【答案】解：1 1 sin 31cos31 sin 3 cos sin 3.由 3 得 1 所以函数 的对称轴方程为 1 由 3 得：1 1 所以函数 在上的单调递增区间为1 和71【解析】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题1化函数 为正弦型函数，再求它的对称轴方程；根据正弦函数的单调性，求出 的单调递增区间，再与取交集22.已知 1是定义在 11上的奇函数1求 的解析式；第 13页，共 13页判断并证明 的单调性；3解不等式：1 【答案】
16、解：1 1是定义在 11上的奇函数，即1 ，又 1 1，1 1，1 函数 在 11上为增函数证明如下，任取 1 1 1，1 1 1，1 1 1，1 1 1 111 1，111111 ，1 ，为 11上的增函数3 1 ，即 1 ，1 1 1 1 1 1 ，解得 1，不等式解集为：1.【解析】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论1根据奇函数的性质 ，列出方程求出 a、b 的值，代入解析式；先判断出函数是增函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论3根据函数的单调性即可得到关于 x 的不等式组，解得即可