1、探究课六 导数问题中的热点题型(建议用时:80分钟)1已知函数f(x)ln xx2ax(aR)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围解法一函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.函数f(x)在(0,)上单调递增,f(x)0,即2xa0对x(0,)都成立a2x对x(0,)都成立当x0时,2x22,当且仅当2x,即x时取等号a2,即a2.a的取值范围为2,)法二函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.方程2x2ax10的判别式a28.当0,即2a2时,2x2ax10,此时,f(x)0对x(0,)都成立,故函数f(x)在
2、定义域(0,)上是增函数当0,即a2或a2时,要使函数f(x)在定义域(0,)上为增函数,只需2x2ax10对x(0,)都成立设h(x)2x2ax1,则解得a0.故a2.综合得a的取值范围为2,) 2.(2015南山中学月考)已知函数f(x)sin x(x0),g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a取(1)中的最小值时,求证:g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0),则h(x)cos xa.若a1,h(x)cos xa0,h(x)sin xax(x0)单调递减,h(x)h(0)0,则sin xax(x0)成立若0a0,h(x)s
3、in xax(x(0,x0)单调递增,h(x)h(0)0,不合题意当a0,结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意综上可知,a1.(2)证明当a取(1)中的最小值为1时,g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0),则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2,则G(x)sin xx0(x0),所以G(x)1cos xx2在0,)上单调递减,此时G(x)1cos xx2G(0)0,即H(x)1cos xx20,所以H(x)xsin xx3在x0,)上单调递减所以H(x)xsin xx3H(0)0,则xsin xx3(x0)所以,当a取(1)中的最小值时,g(x
4、)f(x)x3.3(2014杭州调研测试)设a0,函数f(x).(1)若a,求函数f(x)的单调区间;(2)若当x时,函数f(x)取得极值,证明:对于任意的x1,x2,|f(x1)f(x2)| .(1)解由题意得f(x).令f(x)0,即(x1)20,解得x或x.所以函数f(x)在,上单调递增同理,由f(x)0,得x.所以函数f(x)在上单调递减(2)证明当x时,函数f(x)取得极值,即f0,2a20,a.同(1)易知,f(x)在,上单调递增,在上单调递减当x时,f(x)取得极大值f,当x时,f(x)取得极小值f,在上,f(x)的最大值是f,最小值是f.对于任意的x1,x2,|f(x1)f(x
5、2)| ,即|f(x1)f(x2)| .4(2015重庆模拟)已知函数f(x)(x2axa)exx2,aR.(1)若函数f(x)在(0,)内单调递增,求a的取值范围;(2)若函数f(x)在x0处取得极小值,求a的取值范围解(1)f(x)(2xa)ex(x2axa)ex2xx(x2a)ex2,f(x)在(0,)内单调递增,f(x)0在(0,)内恒成立,即(x2a)ex20在(0,)内恒成立,即x2a在(0,)内恒成立,又函数g(x)x2在(0,)上单调递增,且g(0)0,a0.(2)令f(x)0,即x(x2a)ex20,或或(*)g(x)x2单调递增,设方程g(x)x2a的根为x0.若x00,则
6、不等式组(*)的解集为(,0)和(x0,),此时f(x)在(,0)和(x0,)上单调递增,在(0,x0)上单调递减,与f(x)在x0处取极小值矛盾;若x00,则不等式组(*)的解集为(,0)和(0,),此时f(x)在R上单调递增,与f(x)在x0处取极小值矛盾;若x00,则不等式组(*)的解集为(,x0)和(0,),此时f(x)在(,x0)和(0,)上单调递增,在(x0,0)上单调递减,满足f(x)在x0处取极小值,由g(x)单调性,得ax02g(0)0,综上所述,a0.5已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0,其中a0.(1)求a的值;(2)若对任意的x0,),有f(x)kx2成立,求实
7、数k的最小值;(3)证明:ln(2n1)2(nN*)解(1)f(x)的定义域为(a,)f(x)1.由f(x)0,解得x1aa.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(a,1a)1a(1a,)f(x)0f(x)极小值因此,f(x)在x1a处取得最小值,故由题意f(1a)1a0,所以a1.(2)当k0时,取x1,有f(1)1ln 20,故k0不合题意当k0时,令g(x)f(x)kx2,即g(x)xln(x1)kx2.g(x)2kx.令g(x)0,得x10,x21.当k时,0,g(x)0在(0,)上恒成立,因此g(x)在0,)上单调递减从而对于任意的x0,),总有g(x)g(0)0,即f
8、(x)kx2在0,)上恒成立故k符合题意当0k时,0,对于x,g(x)0,故g(x)在内单调递增因此当取x0时,g(x0)g(0)0,即f(x0)kx不成立故0k不合题意综上,k的最小值为.(3)当n1时,不等式左边2ln 32右边,所以不等式成立当n2时,ln(2i1)ln(2i1)ln(2n1)在(2)中取k,得f(x)(x0),从而f(iN*,i2),所以有ln(2n1)f(2)2ln 32ln 32ln 312.综上,ln(2n1)2,nN*.6(2014辽宁卷)已知函数f(x)(cos xx)(2x)(sin x1),g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln .证明:(1)存在唯一x0,使f(x0)0;(2)存在唯一x1,使g(x1)0,且对(1)中的x0,有x0x1.证明(1)当x时,f(x)(1sin x)(2x)2xcos x0,f20,当t时,u(t)0,所以u(t)在(0,x0上无零点在上u(t)为减函数,由u(x0)0,u4ln 20,故g(x)(1sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1,使g(x1)0.因x1t1,t1x0,所以x0x1.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.