1、安徽省合肥市庐阳区合肥六中、合肥八中、阜阳一中、淮北一中四校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】先分别求出集合A，B，由此能求出【详解】解：集合，故选：B【点睛】本题主要考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知直线l、m，平面、，且，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据线面
2、垂直的判定与性质逐个判断,同时结合长方体举反例即可.【详解】画出如图长方体.对A, 若,则因为,故,又,所以,故A正确.对B,当为,为,面为,为面时,满足,但不成立.故B错误.对C, 当为,为,面为,为面时, 满足,但不成立.故C错误.对D, 当为,为,面为,为面时, 满足,，但不成立.故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查平行垂直的判断,可直接利用线面垂直的方法进行判定,或者在长方体中举出反例即可.属于基础题型.3.若直线与直线垂直，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，求实数的值.【详解】由题意可知 整理为： ，解得：或 故选：D【点睛】本题考查根
3、据两条直线垂直求参数意在考查基本公式和基本概念，属于基础题型，若和互相垂直，则，若与互相垂直，则.4.已知椭圆E：与双曲线C：（，）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中的关系求得后可得渐近线方程【详解】椭圆E的焦点为故双曲线C的渐近线方程为故选D【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质属于基础题5.下列结论中错误的是（ ）A. “2m3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B. 命题p:，使得的否定C. 命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则且”的否命题是
4、“若，则或”【答案】B【解析】【分析】逐一判断选项，A.当方程表示椭圆时，求的范围，再判断是否是必要非充分条件；B.根据特称命题的否定形式直接判断；C.利用原命题和逆否命题的等价性判断；D.根据否命题的形式判断.【详解】A.当方程表示椭圆时， ，解得：，且，设 ， “2m3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件，故正确；B.根据特称命题的否定形式可知：，故错误；C.方程有实根，则，解得： ，所以“若，则方程有实根”是真命题，原命题和逆否命题等价，所以其逆否命题也是真命题，故正确；D.根据原命题与否命题的形式可判断是正确.故选：B【点睛】本题考查判断命题的真假，重点考查简易逻辑的相关基础知识，属于基
5、础题型.6.的内角所对边分别为若，成等差数列，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】B，A，C成等差数列，可得2AB+CA，解得A利用正弦定理可得sinB，即可得出【详解】B，A，C成等差数列，2AB+CA，解得A则sinB，又ab，B为锐角B故选：A【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.设变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义利用数形结合分析即可得到结论【详解】由约束条件作出其所确定的平面区域
6、（阴影部分），因为，所以，平移直线，由图象可知当直线经过点时，目标函数取得最大值，由，解得，即，即，故的最大值为9故选C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键要求熟练掌握常见目标函数的几何意义8.已知，则的最小值是（ ）.A. 3B. C. D. 9【答案】A【解析】【分析】已知条件变形为，再根据，展开利用基本不等式求最值.【详解】由已知结合指数运算性质可得，所以， 从而，当且仅当时等号成立，即，又解得：，. 故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查变形和计算能力，属于基础题型.9.定义在上的函数满足，且时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
7、析】由可得函数为奇函数，由可得，故函数的周期为4所以，因为，所以故，选A点睛：根据得到函数为奇函数和周期函数是解题的关键，然后根据对数的运算性质将问题转化到区间内解决10.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面.则.扩展为长方体， 它的对角线的PB即为球的直径：
8、该三棱锥的外接球的表面积为：41故选：A【点睛】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题11.已知函数，且函数是偶函数，若函数恰好有三个零点，则该函数的零点是（ ）A. B. C. D. .【答案】B【解析】【分析】由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式，为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】函数是偶函数，所以关于关于直线对称，；设为偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，令则整理得，解得或，当时，；当时，所求函数的零点为.故选：B【点睛】本题考查函数的对称性.函数解析式，以及利用函数的性
9、质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.12.若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设.由得，由韦达定理得，因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以即， 由抛物线的性质可知，再结合条件有，进而得而出答案.【详解】设.由消去，得，故，解得，且.由，且成等差数列，得，得，所以，解得又，故，故选：D【点睛】圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点，解题的一般方法是设出交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，再通过韦达定理结合题意求解。第卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答
10、案填写在答题卷相应位置上.13.已知数列中，则的值是_【答案】【解析】【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可【详解】数列，可得a23；a3；a4；所以数列的周期为3，a2020a6733+1a1故答案为：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键，是基本知识的考查14.在如图所示的四棱锥中，四边形为菱形，M为中点.则点M到平面的距离是_.【答案】【解析】【分析】由题意得DMAD，DMPA，且，可得DM平面PAD，故而平面PAD平面ABCD；根据VMPBDVPBDM即可求出M到平面PBD的距离.【详解】四边形为菱形，且，是等边三角形，又
11、M是的中点，又，又，平面，又平面，平面平面. 取的中点H，连接，且，由平面平面，平面平面，平面，故，又， 设M到平面距离为h，则.又，解得.点M到平面的距离为.故答案为：【点睛】本题考查点到面的距离，意在考查推理能力，和转化与化归的思想和计算能力，一般求点到平面的距离的方法：1.定义法；2.等体积转化法.15.设A.B分别为双曲线（a0，b0）的左.右顶点，P是双曲线上不同于A.B的一点，直线AP.BP的斜率分别为m.n，则当取最小值时，双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.【详解】设，则 ，因此
12、当且仅当时取等号,所以离心率是.故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.16.设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】由条件可求的函数，并求和的值域，并且计算当时，的解，根据图象求的取值范围.【详解】，.时，；时，；当时，当时，由解的如图，画出函数图象若对任意，都有，则.所以m的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查函数图象和性质的综
13、合应用，意在考查分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据已知条件求的解析式，并能数形结合分析问题.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由条件可知，并且利用二倍角公式化简为，计算；（2）由（1）求得，求得，再结合余弦定理和基本不等式求周长的范围.【详解】（1）由题设及，及二倍角余弦公式可得； 所以（2）由得 ，故.又，则.由余弦定理得： （当且仅当a=c时取等号）所以.【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角面
14、积和余弦定理的综合应用，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型.18.已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上.(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过（2,0）点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）(x1)2(y2)22；（2）x2或3x-4y-60.【解析】【分析】（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程；（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1，求直线方程.【详解】(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.所以C
15、点坐标为(1，2)，半径r|AC|.故圆C的方程为(x1)2(y2)22. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x2），即 kx-y-2k=0由题意得，解得k，则直线l的方程为y（x-2）. 综上所述，直线l的方程为x2或3x-4y-60.【点睛】本题考查求圆的标准方程和直线与圆相交求直线方程，意在考查待定系数法求曲线方程，属于基础题型.19.已知等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列an通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.【答案】（1）
16、；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件直接求得，再利用，列方程求和通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.所以（2）记则所以 【点睛】本题主要考查等差数列.等比数列.数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.20.已知过抛物线x22py(p0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则BD，因为ABDDCB，所以，即，求得边长，再取过A作AOBD于O，则AO平面BDC，过O作OG/DC交BC于G，以O为坐标原点 OB，OG，OA分别为x.y.z轴非负半轴建立空间直角坐标
17、系，利用向量的坐标法求二面角的余弦值.【详解】(1)证明因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB，又因为ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC. (2)解由(1)知DC平面ABD，所以DAC为AC与平面ABD所成角.依题意得tanDAC，因为AD1，所以CD，设ABx(x0)，则BD，因为ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD.过A作AOBD于O，则AO平面BDC，过O作OG/DC交BC于G，以O为坐标原点 OB，OG，OA分别为x.y.z轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示 面ABD法向量可取
18、 DO=，OA=D（,0,0） A（0,0，），所以 ，设面DAE法向量为则 取 又二面角BADE是锐角，所以所求二面角的余弦值为。【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和空间向量坐标法求二面角的余弦值，意在考查推理与证明和计算能力，不管证明线面垂直还是证明面面垂直，证明的基础都是线线垂直，证明线线垂直的方法包含1.菱形对角线互相垂直，2.勾股定理；3.直角三角形或矩形等特殊图形，4.等腰三角形底边三线重合，5.线面垂直推出线线垂直等方法.22.已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时
19、，|RS|3.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若点M(0，m)，（），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A.B，y轴上是否存在点N（0，n）使ANMBNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由。(3) 在（2）条件下m=1时，求ABN面积的最大值。【答案】（1）1；（2）答案不唯一，见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由内切圆半径表示三角形的面积，可得，再由，求得椭圆方程；（2）分轴和不垂直于轴时两种情况，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，直线与椭圆方程联立，代入根与系数的关系，得到的关系；（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）设直线AB的方
20、程为ykx1，也椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示面积，代入根与系数的关系，利用基本不等式求最值.【详解】(1)由内切圆的性质，得2cb(2a2c)，得.将xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故椭圆C的标准方程为1. (2) 当ABx轴时，可知ANMBNM0. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为ykxm.联立方程消去y得，(34k2)x2+8kmx+4m2-120.（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，x1x2.假设存在N（0，n）则kANkBN0.（*），对任意kR恒成立.所以mn=3且m0.m=0时由（*）式知不存在点N符合题意， 综上：m=0时不存在， 时存在点N（0,n），mn=3。（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）设直线AB的方程为ykx1. 由设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，x1x2.，令则t 1,当且仅当 t=1，k=0时 取的最大值。所以ABN面积的最大值为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问和第三问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.