1、考前备战2011高考数学冲刺押题系列系列三 数列【高考冲刺押题】【押题2】已知数列an满足an =2 an-1-2n+5(nN+且n2)，a1=1. （I）若bn =an-2n+1，求证：数列bn(nN+)是常数列，并求an的通项；（II）若Sn是数列an的前n项和，又cn=(-1)nSn，且cn的前n项和Tntn2在nN+时恒成立，求实数t的取值范围.【押题指数】【解析】(1)由an =2an-1-2n+5知：an -2n+1=2an-1-2(n-1)+1，而a1=1于是由bn =an-2n+1，可知：bn =2bn-1，且b1=0从而bn=0，故数列bn是常数列于是an=2n-1. 5分（
2、II）Sn是an前n项和，则Sn=1+3+5+(2n-1) =n2，cn=(-1)nn2当n为奇数时，即n=2k -1，Tn=T2k-1=-12+22-32+42+(2k-2)2-(2k-1)2=-k(2k-1)=-当n为偶数时，Tn= T2k=T2k-1+(2k)2=.Tn=.由Tntn2恒成立，则需tn2恒成立.只需n为奇数时恒成立.(n=1，3，5，7，)，(n=1，3，5，7，)恒成立.而，故所需t的范围为(-，-1). 【押题3】已知函数是函数的导函数，设（I）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（II）令的前n项和【押题指数】【解析】()，由可得-2分-4分所以数列是以为首
3、项，公比为的等比数列所以有-6分（）由题意则-7分-9分令得：得：即-12分所以-13分 【押题4】已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且（）求证：数列是等差数列；（）求数列的通项公式；() 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 【押题指数】时，的对称轴为，关于递减，因此，只需 解得综上， 【押题5】数列中，且（）（I）证明：；（II）若，计算，的值，并求出数列的通项公式；（III）若，求实数（），使得数列成等比数列【押题指数】【解析】（I）若，即，得或与题设矛盾，（II），解法一：用数学归纳法，先猜想，再用数学归纳法证明解法二：，由，得，数列是首项为，公
4、比为的等比数列，得（III）设数列成等比数列，公比为，则，即由，不是常数列，此时，是公比为的等比数列【押题6】已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论【押题指数】【解析】（）由得:时，是等比数列，得 （）由和得 当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有综上：当时有；当时有【押题7】设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。（I）求数列的通项公式；（II）试确定实数的值，使得数列为等差数列；（III）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，
5、试求满足的所有正整数。来源:【押题指数】【解析】（I）由题意，则，解得或因为为正整数，所以，又，所以-（II）当时，得，同理：时，得；时，得，则由，得。而当时，得由，知此时数列为等差数列。（III）由题意知，则当时，不合题意，舍去；当时，所以成立； 当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则又，所以，即，所以因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。即当时，综上所述，满足题意的正整数仅有【押题8】 数列满足，（）.（）设，求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求出并由此证明：.【押题指数】【解析】（）由已知可得，即，即3分 即 累加得又 6分（） 由（）知， ， 9分 11分易知递
6、减0 ，即 13分注：若由0得 只给1分.【押题9】设,是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列；()设，求数列的前项和. 【押题指数】【解析】()将直线的倾斜角记为，则有，.设的圆心为，则由题意知，得；同理.从而，将代入，解得.故为公比等比数列.()由于，故，从而，记，则有， -，得.【押题10】已知一列非零向（）证明：是等比数列；（）求向量（）设一列，记为为坐标原点，求点列Bn的极限点B的坐标.（注：若点Bn坐标为的极限点.）.【押题指数】【名校试题】1、已知数列为等差数列，且，为
7、等比数列，数列的前三项依次为，（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和【试题出处】重庆主城高2011级学生学业调研抽测试卷（第二次）数学（文科）【解析】（）由题意设数列公差为，数列的公比为，1分又， 3分解得： 5分 8分（）+） 13分2、设数列的前n项和为，数列为等差数列，且， （I）求数列的通项公式； （II）设的前n项和【试题出处】河南省普通高中毕业班2011届高考适应性测试数学试题【解析】()由数列的前项和为得：，,数列为等差数列,所以6分（）设，-或或3、在数列中，（其中为数列的前n项和). ()求数列的通项公式；（）若，求数列的前n项和，【试题出处】邯郸市2011年高三第二次模拟
8、考试理科数学【解析】() .4分（），当时；当时， 12分来源:学科网4、已知正数数列的前项和为，且对任意的正整数满足.()求数列的通项公式；()设，求数列的前项和.【试题出处】杭州市2011届高三第二次教学质量检测数学（文）试题【解析】()由，代入得，两边平方得(1) ，(1)式中用代入得(2)，(1)(2)，得，由正数数列得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，有.() ，裂项相消得. 5、已知等差数列的各项均为正数，是等比数列，()求数列的通项公式；()求证：都成立【试题出处】广东省肇庆市2011届高三年级第二次模拟考试数学试题（文科）【解析】()设的公差为的公比为q，则 解得（舍
9、）网所以 ）()因为 所以故都成立。6、数列的前项和为，若且（，）. ()求；()是否存在等比数列满足？若存在，则求出数列的通项公式；若不存在，则说明理由.【试题出处】【解析】()因为，所以有对，成立 即对成立，又, 所以对成立所以对成立 ，所以是等差数列，所以有 ，()存在. 由（I），对成立所以有，又，所以由 ，则 所以存在以为首项，公比为3的等比数列，其通项公式为 . 7、已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，设 ， .（）设数列，求；（）若数列满足，求函数的最小值.【试题出处】海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （理科）【解析】（）根据题设中有关字母的定义， （）一方面，根据“
10、数列含有项”及的含义知，故，即 7分另一方面，设整数，则当时必有，所以所以的最小值为.下面计算的值： ， 最小值为. 8、已知数列满足：()求()设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；()已知，求证：【试题出处】湛江市2011年普通高考测试数学（文 科）【解析】()由数列的递推关系易知： ()又，即数列是公比为，首项为的等比数列， 7分()由()有 9、在数列中，且对任意的都有.（）求证：是等比数列；（）若对于任意都有，求实数的取值范围.【试题出处】2011年陕西省高三教学质量检测试题（二）数学（文科）【解析】（）证明：由得又由得是以为首项，以为公比的等比数列.6分（）解：由（），可得.即
11、，. 显然，当时，值最大，且最大值为.实数的取值范围为10、已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式 ()求证【试题出处】黄冈市2011届高三数学交流试卷文科【解析】()因为所以设S=（1）S=(2)(1)+(2):=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为所以所以11、在数列中，并且对于任意nN*，都有（I）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数【试题出处】山东省济南市2011届高三第二次模拟考试试题（数学理）【解析】（I），因为，所以，数列是首项为1，公差为2的等差数列，4分，从而.
12、6分 （II）因为 8分所以 10分 由，得，最小正整数为91.12分12、已知等比数列满足：，且是,的等差中项。（）求数列的通项公式；（）若，求 成立的正整数的最小值。【试题出处】安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试文科13、对于数列an,规定Dan为数列an的一阶差分数列,其中Dan=an+1an(nN*)；一般地,规定Dkan为数列an的k阶差分数列,其中Dkan=Dk1an+1Dk1an,且kN*,k2.()已知数列an的通项公式an=n2n(nN*),试证明Dan是等差数列；()若数列an的首项a1=1,且满足D2anDan+1+an=2n(nN*),求数列an的通项公式；()在
13、()的条件下,记bn=,求证：b1+【试题出处】眉山市高中2011届第二次诊断性考试数学试题卷 （理科）【解析】()根据题意: Dan=an+1an=(n+1)2(n+1)n2+n=5n42分Dan+1Dan=6数列Dan是首项为1,公差为5的等差数列. 3分()由D2anDan+1+an =2n, Dan+1Dan Dan+1+an =2n,Danan=2n. 5分而Dan=an+1an, an+12an=2n, =, 6分数列构成以为首项, 为公差的等差数列,即= an=n2n1. 7分()由()知an=n2n1,bn=9分当n2,nN*时=(),b1+=1+()+()+()+()+()=
14、1+(+)1+(+)=.当n=1时, b1=1, 显然成立b1+1，因，又，则，所以，因为三项均为整数，所以为内的既约分数且含平方数因子，经验证，仅含或时不合，所以； 3、第（3）小题的构造形式不唯一15、在数列中，其中（I）设，求数列的通项公式；（II）记数列的前项和为，试比较与的大小【试题出处】上海市闸北区2011学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷【解析】（I）由得，又，得，3分所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，2分所以2分（II），2分1分设，由于 2分当时，当时，即，当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列 2分又， 所以当时，；2分所以当时，2分16、已知数列的前n项和
15、为（I）求的通项公式；（II）数列，求数列的前n项和；（III）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。【试题出处】皖南八校2011届高三第三次联考数学试题（理）【解析】（I）由易求: 代入得- 4分（II）数列 于是两式相减得- 8分（III）当n=1时，当时,即, ,所以对一切正整数n，取最大值是又即-13分17、已知数列的前项和，且（）求数列an的通项公式；（）令，否存在（），使得、成等比数列若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由【试题出处】2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）【解析】（）法1：当时，2分即4分所以数列是首项为的常数列5分所以，即 所以
16、数列的通项公式为 7分法2：当时，2分即4分所以5分因为，符合的表达式6分所以数列的通项公式为7分（）假设存在，使得、成等比数列， 则8分因为（n2），所以11分13分这与矛盾故不存在（），使得、成等比数列14分18、已知函数，数列满足，（）若数列是常数列，求a的值；（）当时，记，证明数列是等比数列，并求出通项公式【试题出处】上海市黄浦区2011年高考二模数学试卷文科【解析】（），数列是常数列，即，解得，或6分所求实数的值是1或-1 （），即10分数列是以为首项，公比为的等比数列，于是12分由即解得所求的通项公式19、已知在数列中，是其前项和，且（）证明：数列是等差数列；（）令，记数列的前项和
17、为.求证：当时，；）求证：当时，.【试题出处】2011年新余市高三二模考试数学试题卷（理科）【解析】（）由条件可得，两边同除以，得：所以：数列成等差数列，且首项和公差均为14分（）由（）可得：，代入可得，所以，.6分 当时，平方则叠加得 又 =9分当时，即时命题成立假设时命题成立，即当时，= 即时命题也成立综上，对于任意，14分20、设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.（）求函数的解析式和值域；（）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；（III）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.【试题出处】上海市杨浦区2011学年度高三学科模拟测试数学试卷理科（III）由（）知，从而；，即；令，则有且；从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，而得，即，所以 ，所以，所以，所以，.即，所以，恒成立当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。所以，对任意，有。又非零整数，