1、高考资源网（） 您身边的高考专家第10课时等比数列的前n项和(2) 教学过程一、 问题情境在“即时体验”第2题中,由是等比数列可得r=-1;反过来,当r=-1时,是等比数列吗?二、 数学建构(一) 生成概念问题1怎样说明一个数列是等比数列?结合等比数列的定义,引导学生说出:(n2)为定值问题2你能直接看到结果和该等比数列的公比吗?(引导学生思考等比数列前n项和公式的特征)问题3若数列的前n项和变为Sn=3n+1,那么该数列还是等比数列吗?(引导学生跳出具体的数列,找出等比数列前n项和公式的一般形式)问题4你能求出等比数列前n项和组成的数列的前n项和吗?(引导学生:数列求和的关键是研究数列项的特
2、征)先通过讨论,再给出等比数列前n项和组成的数列的前n项和Tn(如下).设等比数列的首项为a1,公比为q,当q=1时,Sn=na1,则Tn=a1+2a1+3a1+na1=a1;当q1时,Sn=-qn,则Tn=+=-(q1+q2+q3+qn)=-=-.(二) 理解概念 1. 强调公比q不确定时,要讨论q是否为1. 2. 一般的数列求和要化归为特殊数列求和.(三) 巩固概念问题5当q1时,等比数列的前n项和公式有什么特征?(引导学生归纳出:Sn=Aqn-A,其中A为常数)三、 数学运用【例1】(教材P57例3)求数列1+, 2+, 3+, , n+,的前n项和.3(见学生用书课堂本P35)处理建议
3、可由学生分析该数列的特征:这个数列的每一项都是一个等差数列和一个等比数列的对应项的和,因此采用分组求和.规范板书解Sn=+=(1+2+3+n)+=+=+1-.题后反思一般数列求和的处理,要从通项入手,观察其特征,化归为特殊数列,如常数列、等差数列或等比数列的求和.变式求和:+(其中x0, x1, y1).处理建议让学生观察表达式,模仿例1,找出数列的通项;可以看出上面各个括号内的前一项与后一项分别组成等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和.规范板书解当x0, x1, y1时,+=(x+x2+xn)+=+=+.【例2】某家用电器售价2000元,若顾客采用分期付款,则每期付款数
4、相同,每期为一个月,购买后一个月付款一次,共需付12次,即购买后一年付清;如果按月利率8,每月复利一次计算,那么每期应付款多少元?4(见学生用书课堂本P36)处理建议对于分期付款,银行有如下规定: 分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款; 到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.规范板书解法一设每期付款x元,则第1次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,第2次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,第11次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,第12次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,所以各期付款连同利息之和为x(1+1.008+1.00811)=x.又所
5、购电器的现价及其利息之和为2000(1+0.008)12,于是有x=2000(1+0.008)12,解得x175.46,即每期应付款约175.46元.解法二设每期付款x元,第k月后欠款为ak元(k=1, 2, , 12),则a1=2000-x,a2=a1-x,an=an-1-x.设an-=1.008,则=,所以an-=1.008,所以数列构成等比数列,所以an=1.008n-1+.因为a12=0,即1.00811+=0,将a1=2016-x代入上式,解得x175.46,即每期应付款约175.46元.题后反思应用问题的关键是弄懂题意,让学生能够逐一了解各个月份的情形.学习数学,是为了分析问题、解
6、决问题,通过本例,让学生体会到生活的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.*【例3】(教材P62习题2.3(2)第13题)求和:Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn-1.5处理建议由学生观察数列的特点,找出特殊之处;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.规范板书解(1) 当x=0时,Sn=1.(2) 当x0时,Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn-1,xSn=x+2x2+3x3+xn-1+nxn,-得Sn=1+x+x2+xn-1-nxn,当x1时,Sn=-nxn=,所以Sn=;当x=1时,Sn=1+2+3+4+n=.题后反思本题中数列各项是一个等差数
7、列与一个等比数列对应项的积,我们一般称之为差比数列,通常采用错位相减法求和.四、 课堂练习 1. 某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比前一年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为11(1.15-1).提示这个厂从今年起到第五年的产值组成以1.1为首项,1+10%为公比的等比数列,所以S5=11(1.15-1). 2. 已知等比数列的首项为1,公比为q,前n项和为Sn,则数列的前n项和Tn=q1-nSn.(用含Sn的式子表示)提示当q=1时,Tn=Sn;当q1时,Tn=q1-n=q1-n=Snq1-n,综上可得Tn=q1-nSn. 3. 已知数列中,an=23n-1,由它的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn=.提示新数列是首项为6,公比为9的等比数列,则Sn=. 4. 已知数列的通项公式为an=3n-2n,则它的前n项和Sn=.提示Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+(3n-2n)=(31+32+33+3n)-(21+22+23+2n)=-=.五、 课堂小结 1. 对于常见数列的求和问题,要先研究其通项,再化归为等差数列或等比数列来处理. 2. 对于实际应用问题,关键是建立等比数列的模型.高考资源网版权所有，侵权必究！