1、第3讲导数的简单应用一、选择题 1.(2019山西太原模拟)设函数f(x)=13x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为()A.-13B.-1C.13D.1答案Af (x)=x2-1,由f (x)=0得x1=-1,x2=1,所以f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以f(x)在x=-1处取得极大值,易知f(-1)=1,得m=13,f(x)在x=1处取得极小值, f(1)=1313-1+13=-13.2.(2019山东泰安模拟)已知f(x)=14x2+sin2+x, f (x)为f(x)的导函数,则y=f (x)的图象大致是()答案A易知
2、f(x)=14x2+cos x,所以f (x)=12x-sin x, f (x)为奇函数,排除B,D;当x=6时, f (x)=12-12f(e)f(3)B. f(3)f(e)f(2)C. f(3)f(2)f(e)D. f(e)f(3)f(2)答案D易知f(x)的定义域是(0,+), f (x)=1-lnxx2,当x(0,e)时, f (x)0;当x(e,+)时, f (x)f(3)f(2).4.(2019四川成都摸底)已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.3,+)C.(-,1D.(-,3答案Bf (x)=3x2-a,又f(x)在(-1
3、,1)上单调递减,3x2-a0在(-1,1)上恒成立,a3.5.(2019广东广州模拟)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)答案Df (x)=3x2+2ax,曲线f(x)在点P处的切线方程为x+y=0,3x02+2ax0=-1,又x0+x03+ax02=0,x0=1,当x0=1时, f(x0)=-1;当x0=-1时, f(x0)=1.点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).6.(2019广东广州模拟)若函数f(x)=ex(sin x+ac
4、os x)在4,2上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,1)C.1,+)D.(1,+)答案Af (x)=exsin x+cos x-a(sin x-cos x),当a=0时, f (x)=ex(sin x+cos x),显然x4,2时, f (x)0恒成立,排除C、D;当a=1时, f (x)=2excos x,显然x4,2时, f (x)0恒成立,所以选A.二、填空题7.函数f(x)=1+lnxx的增区间是,曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是.答案(0,1(或(0,1)y=1解析第一个空:函数f(x)=1+lnxx,x0, f (x)=-lnxx2,显然当012,当
5、x(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a=.答案1解析由题意知,当x(0,2)时, f(x)的最大值为-1,f (x)=1x-a.令f (x)=0,得x=1a,a12,01a2.当0x0;当1ax2时, f (x)0.f(x)max=f1a=-ln a-1=-1,解得a=1.9.(2019湖北武汉模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是.答案1,32解析f(x)的定义域为(0,+), f (x)=4x-1x,由f (x)=0解得x=12,由k-112k+1,k-10,解得1k0).若a0,则f (x)0, f(x)在
6、(0,+)上单调递增,此时f(x)无极值点;若a0,则令f (x)=0,得x=1a,当x0,1a时, f (x)0;当x1a,+时, f (x)0时, f(x)有一个极大值点x=1a,无极小值点.12.(2019贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=ln x+12x2-ax+a(aR).(1)若函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且x2ex1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值.解析(1)f (x)=1x+x-a(x0),且f(x)在(0,+)上单调递增,当x0时,恒有f (x)0,即1x+x-a0在x
7、(0,+)上恒成立,ax+1xmin,x0,又x0时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取“=”,a的取值范围是(-,2.(2)f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,x1,x2是方程f (x)=0,即x2-ax+1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系得x1+x2=a,x1x2=1,f(x2)-f(x1)=ln x2x1+12(x22-x12)-a(x2-x1)=ln x2x1-12(x22-x12)=ln x2x1-12(x22-x12) 1x1x2=ln x2x1-12 x2x1-x1x2,设t=x2x1(te),令h(t)=ln t-12t-1t(te),则h(t)=1t-12
8、1+1t2=-(t-1)22t2f(x),nN*,则有()A.enf(-n)enf(0)B.enf(-n)f(0), f(n)f(0), f(n)enf(0)D.enf(-n)f(0), f(n)0,g(x)为R上的增函数,故g(-n)g(0)g(n),即 f(-n)e-n f(0)e0f(n)en,即enf(-n)enf(0).故选A.2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数f (x)的图象如图所示,且f(-2)=f(3)=2,则函数f(x)的增区间为,若g(x)=(x-1)f(x),则不等式g(x)2x-2的解集为.答案1,+)-2,13,+)解析根据导函数的图象可知,当x1时, f (x)0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的增区间为1,+).不等式g(x)2x-2等价于(x-1)f(x)-20.由于f(-2)=f(3)=2,且函数在(-,1)上递减,在(1,+)上递增,所以当x-2时,x-10,则(x-1)f(x)-20;当-2x1时,x-10, f(x)-20,(x-1)f(x)-20;当1x0, f(x)-20,(x-1)f(x)-20, f(x)-20,(x-1)f(x)-20.故不等式g(x)2x-2的解集为-2,13,+).