1、课时分层训练(四十七)利用空间向量求空间角(对应学生用书第291页)A组基础达标一、选择题1在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D夹角的大小为()A.B.C.DD建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)(1,1,0)，(1,1，1)，1(1)110(1)0，AC与B1D的夹角为.2. (2017西安调研)如图7720，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图7720A.BC.DA不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1
2、(0,2,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.3(2017郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1夹角的正弦值为() 【导学号：79140255】A.BC.DB设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以1(0,0,1)，(1,1,0)，1(1,0,1)令平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则nxy0，n1xz0，令x1，可得n(1,1,1)，所以sin |cosn，
3、1|.4已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于()A.BC.DA如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，所以(，1,2)，由题知(，0,0)为侧面ACC1A1的法向量即sin .故选A.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为() A.BC.DB以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.设平面A1ED的一个法
4、向量为n1(1，y，z)，有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.二、填空题6在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为_以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n0，n0，即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)设所求线面角为，则sin |cosn，|.7如图7721所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB
5、4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_图772160，|2.|cos，24.cos，.又所求二面角与，互补，所求的二面角为60.8在一直角坐标系中，已知A(1,6)，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_. 【导学号：79140256】2如图为折叠后的图形，其中作ACCD，BDCD，则AC6，BD8，CD4，两异面直线AC，BD夹角为60.故由，得|2|268，所以|2.三、解答题9(2018合肥一检)如图7722，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12.图7722(
6、1)若M为CD的中点，求证：AM平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD夹角的正弦值解(1)证明：四边形ABCD为菱形，BAD120，连接AC，则ACD为等边三角形，又M为CD的中点，AMCD，由CDAB得AMAB.AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面AA1B1B.(2)四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，得DM1，AM，AMDBAM90，又AA1底面ABCD，以点A为原点，分别以AB，AM，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1，0)，D1，1
7、，(3，0)，(2,0，2)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则有令x1，则n(1，1)直线DD1与平面A1BD夹角的正弦值sin |cosn，1|.10(2017江苏高考)如图7723，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.图7723(1)求异面直线A1B与AC1夹角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,
8、0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与AC1夹角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.B组能力提升11(2017河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面A
9、BCD，则直线BD1与平面ABCD夹角的正切值为() 【导学号：79140257】A.BC.DC取AD中点O，连接OA1，易证A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得B(2，1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设BD1与平面ABCD的夹角为，sin ，tan .12已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求二
10、面角的平面角BH，EB1，tanEHB.13(2017全国卷)如图7724，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点图7724(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值. 【导学号：79140258】解(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则 (x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD的夹角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值为.