1、第2讲等差数列课标要求考情分析1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系1.对高考常考的等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等概念要记熟记准，并能熟练应用.2.掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法.3.平常学习过程中，能通过题目强化对基础知识的认识、理解和应用，以便解决与其他章节有联系的题目1.等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公
2、差，通常用字母_表示.d2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d.3.等差中项4.等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn_5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系6.等差数列的常用性质(1)若数列an是等差数列，则数列anp，pan(p 是常数)都是等差数列.(2)若 mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；特别地，若 mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.(4)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k 是等差数列.(5)等差数
3、列的单调性：若公差 d0，则数列单调递增；若公差 d0，d0，则 Sn 存在最大值；若a10，则 Sn 存在最_值.题组一走出误区1.(多选题)下列命题正确的是()A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列B.等差数列an的单调性是由公差 d 决定的C.等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数D.若an是等差数列，公差为 d，则数列a3n也是等差数列解析：对于 A，同一个常数.对于 B，因为在等差数列an中，当公差 d0 时，该数列是递增数列，当公差 d0 时，该数列是递减数列，当公差 d0时，该数列是常数列，所以命题正确.对于 C，常数列的前 n
4、 项和公式为一次函数.对于 D，因为an是等差数列，公差为 d，所以 a3(n1)a3n3d(与 n 值无关的常数)，所以数列a3n也是等差数列.故选 BD.答案：BD题组二走进教材2.(必修 5P67A 组第 1 题改编)在等差数列an中，a11，d3，an298，则 n()A.99B.100C.96D.101解析：a11，d3，ana1(n1)d1(n1)3298，n100.答案：B答案：A题组三真题展现4.(2018 年全国)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 3S3S2S4，a12，则 a5()A.12B.10C.10D.12解析：3S3S2S43a12d0，d3，a5a14d
5、21210.故选 B.答案：B5.(2020 年全国)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.若 a12，a2a62，则 S10_.解析：an是等差数列，且 a12，a2a62，设等差数列an的公差为 d，根据等差数列通项公式：ana1(n1)d，可得 a1da15d2，即2d(2)5d2，整理可得 6d6，解得 d1，S1025.故答案为 25.答案：25考点 1 等差数列的基本运算自主练习1.(2017 年全国)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a4a524，S648，则an的公差为()A.1B.2C.4D.8解析：方法一，设公差为 d，a4a5a13da14d2a17d24，答
6、案：CC.Sn2n28n2.(2019 年全国)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.已知)S40，a55，则(A.an2n5B.an3n10解析：S44a16d0，a5a14d5，a13，d2，an3(n1)22n5，Sn3n n(n1)22n24n.故选 A.答案：A3.(2020 年新高考)设将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_.解析：因为数列2n1是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列3n2是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以an的前 n
7、 项和为 n1n(n1)263n22n.答案：3n22n4.(多选题)已知an 为等差数列，其前 n 项和为 Sn，且2a13a3S6，则以下结论正确的是()A.a100C.S7S12B.S10 最小D.S190解析：2a13a3S6，2a13a16d6a115d，a19d0 即 a100，A 正确；当 d0 时，Sn 没有最小值，B 错误；S12S7a8a9a10a11a125a100，S12S7，C正确；S19(a1a19)19219a100，D 正确.故选 ACD.答案：ACD【题后反思】在解决等差数列问题时，已知 a1，an，d，n，Sn 中的任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.
8、而求得a1 和 d 是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法.考点 2 等差数列的基本性质及应用师生互动例 1(1)(2016 年四川双流中学模拟)已知等差数列an的前n 项和为 Sn，若 S101，S305，则 S40()A.7B.8C.9D.10解析：方法一，设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则答案：B(2)在等差数列an中，已知前三项和为 15，最后三项和为78，所有项和为 155，则项数 n_.解析：由已知，a1a2a315，anan1an278，两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)93，即a1an31.答案：10(3)(2020 年大数据精选模拟卷)我国古代
9、名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”()A.6 斤B.7 斤C.8 斤D.9 斤解析：原问题等价于等差数列中，已知 a14，a52，求a2a3a4 的值，由等差数列的性质可知：a2a4a1a56，a3a1a523，则 a2a3a49，即中间三尺共重 9 斤.本题选择 D 选项.答案：DA.2B.3C.4D.14因此，正整数 n 的可能取值有 2，4，14.故选 ACD.答案：ACD
10、【题后反思】(1)利用等差数列an的性质“若 mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”.(2)等差数列an的前n项和为Sn，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列.(4)可以把 an 与Sn 结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但也要用好“基本量法”，运用方程的思想“知三求二”.【考法全练】(2020 年全国)北京天坛的圜丘坛(图 5-2-1)为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一
11、层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()图 5-2-1A.3699 块C.3402 块B.3474 块D.3339 块解析：设第 n 环天石心块数为 an，第一层共有 n 环，则an是以 9 为首项，9 为公差的等差数列，an9(n1)99n，27(9927)设 Sn 为an的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 Sn，S2nSn，S3nS2n，因为下层比中层多 729 块，所以 S3nS2nS2nSn729，即3n(927n)22n(918n)22n(918n)2n(9
12、9n)2729，即 9n2729，解得 n9，所以 S3nS2723402.故选 C.答案：C考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题 多维探究例 2(1)(2014 年北京)若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100，则当 n_时，an的前 n 项和最大.解析：由等差数列的性质，及 a7a8a93a8，得 a80.a7a100，a8a90.a90.公差 d0，Sn 的最小值为 S4 或 S5，即为10.答案：010(3)(2013 年全国)等差数列an 的前 n 项和为 Sn，已知S100，S1525，则 nSn 的最小值为_.解析：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由等差数列
13、前 n 项和公式可得答案：49n(a1an)【题后反思】设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和Sn2或 Snna1n(n1)2d.【考法全练】(2019 年北京)设an是等差数列，a110，且 a210，a38，a46 成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值.解：(1)设等差数列an的公差为 d，因为 a2 10，a3 8，a4 6 成等比数列，所以(a3 8)2(a210)(a46)，即(2d2)2d(3d4)，解得 d2，所以 an102(n1)2n12.(2)方法一，由(1)知 an2n12，当 n5 或者 n6 时，Sn 取到最小
14、值30.所以当 n 5 或者 n6 时，Sn 取到最小值 S5 S6 25 5530.利用函数的思想求等差数列的最值例 3(2019 年北京海淀模拟)等差数列an中，设 Sn 为其前n 项和，且 a10，S3S11，则当 n 为多少时，Sn 最大？解：方法一，由 S3S11，得方法二，由于 SnAn2Bn 是关于 n 的二次函数，由 S3S11，解得 6.5n7.5，故当 n7 时，Sn 最大.方法四，由 S3S11，可得 2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故 a7a80，又由 a10，S3S11 可知 d0，a80，当 n12 时，ana2a10a110，所以当 n 10 或 11 时，Sn 有最大值，且最大值为 S10 S1155.答案：10 或 11 55一个思想：处理数列问题的函数与方程思想.如求等差数列关等差数列的计算常需列出关于 a1，d 的方程组求解.两个公式：(1)通项公式 ana1(n1)dam(nm)d.三条主要性质：若等差数列an 的前 n 项和为 Sn，则(1)mnpqamanapaq.(3)Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列.