1、6.1平面向量及其线性运算61.1向量的概念【课程标准】(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义(2)理解平面向量的几何表示和基本要素新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一向量的概念既有_，又有_的量称为向量知识点二向量的几何表示1向量的表示方法2向量的长度(模)|AB|(或|a|)表示向量AB(或a)的_，即长度(也称模).3与向量有关的概念知识点三向量的平行或共线状元随笔1.理解向量概念应关注三点(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方
2、向两个因素(3)向量与向量之间不能比较大小2相等向量的理解任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定3共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同基础自测1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是()A也可以用MN表示B方向是由M指向NC起点是MD终点是M2如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()ADA和BCBDC和ABCD
3、C和BCDDC和DA3如图，以1cm3cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A为始点，可以写出_个不同的向量4.如图所示，在正ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与ED相等的是()AEFBBECFBDFC课堂探究素养提升强化创新性题型1向量的概念、零向量、单位向量经典例题例1(1)下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度其中不是向量的有()A1个B2个C3个D4个(2)给出下列说法：零向量是没有方向的；零向量的长度为0；零向量的方向是任意的；单位向量的模都相等，其中正确的是_(填上序号)状元随笔(1)既有大小又有方向的量是向量(2)长度为0的向量是零向量长度为
4、1的向量是单位向量零向量的方向是任意的方法归纳判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小；(2)有方向两个条件缺一不可跟踪训练1(1)下列说法中正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小(2)设a0，b0分别是a，b方向上的单位向量，则下列结论中正确的是_(填序号)a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.状元随笔结合向量的定义，由相等向量、共线向量的定义作出判断题型2向量的表示经典例题例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(
5、1)OA，使|OA|42，点A在点O北偏东45方向上；(2)AB，使|AB|4，点B在点A正东方向上；(3)BC，使|BC|6，点C在点B北偏东30方向上方法归纳用有向线段表示向量的步骤跟踪训练2在如图的方格纸中，画出下列向量用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量(1)|OA|3，点A在点O的正西方向；(2)|OB|32，点B在点O北偏西45方向；(3)求出|AB|的值题型3共线向量与相等向量经典例题例3(1)在等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC与BD相交于点O，EF
6、是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：写出与AB共线的向量；写出与EF方向相同的向量；写出与OB，OD的模相等的向量；写出与EO相等的向量(2)判断下列命题：两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；若ab，则a与b的方向相同或相反；若ab且bc，则ac；若ab，则2ab.其中正确的命题个数为()A0B1C2D3状元随笔相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，相反向量方向相反，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与a平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量方法归纳相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量(2)共
7、线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若ab，bc，则可推出ac.注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况跟踪训练3(1)如图所示，ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点写出与EF共线的向量；写出与EF长度相等的向量；写出与EF相等的向量状元随笔共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；相等向量既要方向相同，又要大小相等(2)给出下列命题：两个向量，当且仅当它们的起点相同
8、，终点相同时才相等；若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；在菱形ABCD中，一定有ABDC；若ab，bc，则ac.其中所有正确命题的序号为_61平面向量及其线性运算61.1向量的概念新知初探自主学习知识点一大小方向知识点二1方向起点终点向量ABa，b，c2大小3始点和终点相同1个长度相等方向相同知识点三相同或相反非零ab任一向量基础自测1解析：终点是N而不是M.答案：ABC2解析：易知ABDC.答案：B3解析：由图可知，以A为始点的向量有AB、AC、AD、AE、AF、AG、AH，共有7个答案：74解析：因为DE是ABC的中位线，所以DECB且DE12CB，则与向量ED相
9、等的有BF，FC.答案：D课堂探究素养提升例1【解析】(1)既有大小，又有方向，是向量；只有大小，没有方向，不是向量(2)由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由零向量的定义知正确；由单位向量的模是1，知正确【答案】(1)C(2)跟踪训练1解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小故D正确(2)因为a0，b0是单位向量，|a0|1，|b0|1，所以|a0|b0|2.答案：(1)D(2)例2【解析】(1)由于点A在点O北偏东45方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方
10、格数与纵向小方格数相等又|OA|42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA，如图所示(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB，如图所示(3)由于点C在点B北偏东30方向上，且|BC|6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为335.2，于是点C的位置可以确定，画出向量BC，如图所示跟踪训练2解析：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示(3)由图知，AO
11、B是等腰直角三角形，所以|AB|OB2OA23.例3【解析】(1)等腰梯形ABCD中，ABCDEF，ADBC.题图中与AB共线的向量有DC，EO，OF，EF.题图中与EF方向相同的向量有AB，DC，EO，OF.题图中与OB的模相等的向量为AO，与OD的模相等的向量为OC.题图中与EO相等的向量为OF.(2)，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知是正确的，若ab，则可能b为零向量，方向任意，所以错误，若ab且bc，则可能b为零向量，此时a，c不一定平行，所以错误，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以错误故正确的命题有1个【答案】(1)见解析(2)B跟踪训练3解析：(1)E，F分别是AC，AB的中点，EFBC，与EF共线的向量为FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，EF12BC，BDDC12BC，EFBDDC.AB，BC，AC均不相等，与EF长度相等的向量为FE，BD，DB，DC，CD.与EF相等的向量为DB，CD.(2)两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故不正确单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故正确显然正确，故所有正确命题的序号为.答案：(1)见解析(2)