1、2021年新疆高三高考数学第二次适应性检测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，0，1，By|y|x+1|，xA，则AB（）A1，0B0，1C1，1D1，0，12如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点A，B对应的复数分别为z1，z2，则z1（）A47iB87iC8iD4i3若关于x的不等式0的解集为（2，3），则mn（）A5B5C6D64已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若ab，b，则aB若a，b，c，ab，则bcC若b，c，ab，ac，则aD若a，b，ab，则5秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，
2、他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为3，3，输出v时循环体被执行的次数为（）A2B3C4D56以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”如图所示，在直角三角形ABC中，BC1，CAB30，将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的概率为（）ABCD7函数f（x）cos（x+）（，常数，0，|）的部分图象如图
3、所示，为得到函数ysinx的图象，只需将函数f（x）的图象（）A向右平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位8已知向量，满足|2，|2，与夹角的大小为，则（）A0BC2D19已知抛物线C：y24x，直线xmy+1（m0）与C交于A，B两点，若k表示直线AB的斜率，则k+|AB|的最小值为（）A6B7C8D910设，（），sin，sin是方程5x22x10的两根，则coscos（）ABCD11已知F1（5，0），F2（5，0）是双曲线的两个焦点，过F1的直线l与圆O：x2+y2a2切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段PF1的中点，若|OM|TM|1，则双曲
4、线的方程为（）ABCD12若函数f（x）exexx，则满足f（a+）+f（12ln（|x|+1）0恒成立的实数a的取值范围是（）Aln2，+）B6ln2，+）C+ln2，+）D+2ln2，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若变量x，y满足则目标函数z2x+y的取值范围是 142021年1月，某地成为新冠疫情中风险地区，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每家医院至少去1人，则共有 种不同的分配方案15在ABC中，已知AB9，BC7，cos（CA），则cosB 16南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积
5、不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知曲线C：x24y，直线l为曲线C在点（2，1）的切线如图所示，阴影部分为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为U过点（0，y）（0y1）作U的水平截面，所得截面面积是 （用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17记数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n2n（nN*）（1）求证：数列an为等差数列；（2）若数列的前n项和为
6、Tn，求满足Tn的最小正整数n18已知多边形ABCDEF是边长为2的正六边形，沿对角线AD将平面ADEF折起，使得BF（1）证明：平面ABCD平面ADEF；（2）在线段AD上是否存在一点C，使二面角ABFG的余弦值为，若存在，请求出AG的长度；若不存在，请说明理由19全面建成小康社会，一个也不能少，2020年是我国全而打赢脱贫攻坚战的收官之年某地区围绕脱贫攻坚作出一系列重大部署和安排，鼓励农户利用荒坡种植中药材脱贫致富某农户考察三种不同的药材苗A，B，C，经引种试验后发现，引种苗A的自然成活率为0.8，引种苗B，C的自然成活率均为p（0.7p0.9）（1）任取苗A，B，C各一株，估计自然成活的
7、株数为X，求X的分布列及E（X）；（2）将（1）中的E（X）取得最大值时p的值作为B种药材苗自然成活的概率该农户决定引种n株B种药材苗，引种后没有自然成活的苗中有75%的苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的苗不能成活求一株B种药材苗最终成活的概率；若每株药材苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种药材苗多少株？20已知椭圆E：1（a0）的两个焦点为F1，F2，过右焦点F2作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF1的面积为（1）求a的值；（2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆x2+y2的两条切线，切点分别为C
8、，D若直线CD在x轴、y轴上的截距分别是m，n，问是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由21已知函数f（x）ex（a0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当b0，1）时，设函数g（x）（x0）有最小值h（b），求h（b）的最大值选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2，曲线C2的极坐标方程为1若正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1，）（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围选修4-5：
9、不等式选讲23已知函数f（x）|x1|（1）求不等式f（x）+f（2x）4的解集M；（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式f2（mx）+f（ax）m在1，+）上有解，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，0，1，By|y|x+1|，xA，则AB（）A1，0B0，1C1，1D1，0，1解：A1，0，1，B0，1，2，AB0，1故选：B2如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点A，B对应的复数分别为z1，z2，则z1（）A47iB87iC8iD4i解：由图可知：z13+2i，z22+i，则z1（3+2i）（2i）6+23i4i47i，故选：A3若
10、关于x的不等式0的解集为（2，3），则mn（）A5B5C6D6解：因为cosx20，又0的解集为（2，3），所以x2mxn0的解集为（2，3），故2+3m，23n，所以m1，n6，则mn6故选：C4已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若ab，b，则aB若a，b，c，ab，则bcC若b，c，ab，ac，则aD若a，b，ab，则解：若ab，b，则a或a，故A错误；若a，b，c，ab，则bc，正确，证明如下：ab，a，b，a，又a，且c，ac，则bc，故B正确；若b，c，ab，ac，且b与c相交，则a，当b与c平行时，a与可能有三种位置关系，即a或a或a与相交，
11、相交也不一定垂直，故C错误；若a，b，ab，则或与相交，故D错误故选：B5秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为3，3，输出v时循环体被执行的次数为（）A2B3C4D5解：若输入n，x的值分别为3，3，执行程序有v1，i2，第一次执行循环体，是，v5，i1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，是，v16，i0，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，是，v48，i1，满足退出循环的条件；故输出v时循环体被执行的次数为3次
12、，故选：B6以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”如图所示，在直角三角形ABC中，BC1，CAB30，将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的概率为（）ABCD解：直角三角形ABC中，BC1，CAB30，所以AC，AB2，R，r，S1，S2，S阴影SABC，故向区域M内随机投一点P，点P落入“希波克拉蒂月牙”的概率P故选：D7函数f（x）cos（x+）（，常数，0，|）的部分图象如图所示，为得到函数ysinx的图象，只
13、需将函数f（x）的图象（）A向右平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位解：根据函数f（x）cos（x+）（，常数，0，|）的部分图象，可得A1，2再根据五点法作图，可得2+，故，函数f（x）cos（2x+）为得到函数ysinxsin2xcos（2x）的图象，只需将函数f（x）的图象向右平移个长度单位即可，故选：B8已知向量，满足|2，|2，与夹角的大小为，则（）A0BC2D1解：因为|2，|2，所以|，因为与夹角的大小为，所以（）|cos，又（）24，所以4，两边平方整理可得（）260，所以6或0，当6时，|2，cos，此时与夹角的大小为，与已知矛盾，舍去；
14、当0，|4，cos，此时与夹角的大小为，符合条件，综上可得，0故选：A9已知抛物线C：y24x，直线xmy+1（m0）与C交于A，B两点，若k表示直线AB的斜率，则k+|AB|的最小值为（）A6B7C8D9解：由抛物线的方程C：y24x，可得p2，所以抛物线的焦点为F（1，0），所以直线AB的方程为xmy+1经过点F，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y24my40，16m2+160成立，所以y1+y24m，所以x1+x2（my1+1）+（my2+1）m（y1+y2）+24m2+2，所以|AB|x1+x2+p4m2+4，因为直线AB的斜率k（m0），所以k+|AB|4m2+4，令f（
15、m）4m2+4，m（0，+），则f（m）8m，当0m时，f（m）0，f（m）单调递减，当m时，f（m）0，f（m）单调递增，所以f（m）minf（）4（）2+2+47所以k+|AB|的最小值为7，故选：B10设，（），sin，sin是方程5x22x10的两根，则coscos（）ABCD解：因为sin，sin是方程5x22x10的两根，所以可取sin，sin，又，（），所以cos，cos，所以coscos故选：D11已知F1（5，0），F2（5，0）是双曲线的两个焦点，过F1的直线l与圆O：x2+y2a2切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段PF1的中点，若|OM|TM|1，则双曲线的方程为
16、（）ABCD解：由题意可得c5，即a2+b225，连接OT，在直角三角形OTM中，可得|OM|2|TM|2a2，又|OM|TM|1，可得|OM|+|TM|a2，则|OM|（1+a2），|TM|（a21），又在直角三角形OTF1中，|TF1|b，所以|PF1|2|MF1|2（b+a2）2b+a21，由OM为PF1F2的中位线，可得|PF2|2|OM|1+a2，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，即b1a，由解得a3，b4，所以双曲线的方程为1故选：A12若函数f（x）exexx，则满足f（a+）+f（12ln（|x|+1）0恒成立的实数a的取值范围是（）Aln2，+）B6ln2，+）C+l
17、n2，+）D+2ln2，+）解：f（x）的定义域为R，且f（x）exex+x（exexx），则f（x）为奇函数，f（x）exexx，f（x）ex+ex12110恒成立，f（x）在R上单调递增，要使f（a+）+f（12ln（|x|+1）0恒成立，则f（a+）f（12ln（|x|+1）f（1+2ln（|x|+1）恒成立，即1+2ln（|x|+1）恒成立，也就是a12ln（|x|+1）恒成立，令g（x）2ln（|x|+1），该函数为偶函数，只需求g（x）2ln（|x|+1）在0，+）上的最大值g（x）2ln（x+1），g（x）当x（0，1）时，g（x）0，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）有最大
18、值为g（1）2ln2，可得a2ln2+，实数a的取值范围是+2ln2，+）故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若变量x，y满足则目标函数z2x+y的取值范围是1，10解：由约束条件作出可行域如图，由图可得A（0，1），联立，解得B（3，4）作出直线2x+y0，由图可知，平移直线2x+y0至A时，y2x+z在y轴上的截距最小，z有最小值为1，平移直线2x+y0至B时，y2x+z在y轴上的截距最大，z有最大值为10目标函数z2x+y的取值范围是1，10故答案为：1，10142021年1月，某地成为新冠疫情中风险地区，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每家
19、医院至少去1人，则共有14种不同的分配方案解：根据题意，将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每人有2种选法，则4人有22222416种情况，其中4人同去一个医院的情况有2种，则每人去一家医院，每家医院至少去1人的安排方法有16214种；故答案为：1415在ABC中，已知AB9，BC7，cos（CA），则cosB解：AB9，BC7，ABBC，CA，作CDAD，交AB于D，则DCAA，BCDCA，即cosBCD，设ADCDx，则BD9x，在BCD中，由余弦定理知，BD2CD2+BC22CDBCcosBCD，（9x）2x2+492x7，解得x6，ADCD6，BD3，在BCD中，由余弦定理
20、知，cosB故答案为：16南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知曲线C：x24y，直线l为曲线C在点（2，1）的切线如图所示，阴影部分为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为U过点（0，y）（0y1）作U的水平截面，所得截面面积是（y1）2（0y1）（用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是解：过点（0，y）的直线与抛物线C：yx2的
21、交点为（，y），0y1直线l为曲线C在点（2，1）处的切线，则切线的斜率为y|x21，切线方程为yx1过点（0，y）的直线与切线yx1的交点为（y+1，y），用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，截面面积为（y2+2y+14y）（y1）2；取底面直径为2，高为1的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，圆的半径为（1y），截面面积为（1y）2，符合题意则U体积等于圆锥的体积等于121故答案为：（y1）2；三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17记数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n2n（nN*）（1）求证：数列an为等差数列；（2）若数列的前n项和为
22、Tn，求满足Tn的最小正整数n【解答】证明：（1）数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n2n（nN*）当n1时，解得a11，当n2时，所以得：2an6n4，故an3n2所以anan13（常数），故数列an为等差数列解：（2）由于，所以，Tn，解得n12，故n的最小值为1318已知多边形ABCDEF是边长为2的正六边形，沿对角线AD将平面ADEF折起，使得BF（1）证明：平面ABCD平面ADEF；（2）在线段AD上是否存在一点C，使二面角ABFG的余弦值为，若存在，请求出AG的长度；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：在正六边形ABCDEF中，连接BF，与AD交于点O，则FOAD，FOBO
23、，且BF，FO2+OB2BF2，因此BOFO，AD、BO平面ABCD，且ADBOO，FO平面ABCD，又FO平面ADEF，平面ABCD平面ADEF；（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（，0，0），F（0，0，），设G（0，a，0）（1a3），设平面ABF的一个法向量为，则，取x11，得；又，设平面BFG的一个法向量为，则，取x21，得设二面角ABFG的平面角为，则cos，解得a，|AG|1+故在线段AD上存在点G，使二面角ABFG的余弦值为，|AG|19全面建成小康社会，一个也不能少，2020年是我国全而打赢脱贫攻坚战的收官之年某地区围绕脱贫攻坚作出一系列重大部署和安
24、排，鼓励农户利用荒坡种植中药材脱贫致富某农户考察三种不同的药材苗A，B，C，经引种试验后发现，引种苗A的自然成活率为0.8，引种苗B，C的自然成活率均为p（0.7p0.9）（1）任取苗A，B，C各一株，估计自然成活的株数为X，求X的分布列及E（X）；（2）将（1）中的E（X）取得最大值时p的值作为B种药材苗自然成活的概率该农户决定引种n株B种药材苗，引种后没有自然成活的苗中有75%的苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的苗不能成活求一株B种药材苗最终成活的概率；若每株药材苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种药材苗
25、多少株？解：（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X0）0.2（1p）20.2p20.4p+0.2，P（X1）0.8（1p）2+0.8（1p）2+0.4（1p）0.4p21.2p+0.8，P（X2）0.2p2+0.80.2p2+1.6p（1p）1.4p2+1.6p，P（X3）0.8p2，所以X的分布列为：X 0 12 3 P0.2p20.4p+0.20.4p21.2p+0.81.4p2+1.6p0.8p2所以E（X）0（0.2p20.4p+0.2）+1（0.4p21.2p+0.8）+2（1.4p2+1.6p）+30.8p22p+0.8（0.7p0.9）；（2）当p0.9时，E
26、（X）取得最大值一株B药材苗最终成活的概率为0.9+0.10.750.80.96；记Y为n株药材的成活株数，M（n）为n株药材的利润，则YB（n，0.96），E（Y）0.96n，M（n）300Y50（nY）350Y50n，E（M（n）350E（Y）50n286n，要使E（M（n）200000，则有，所以该农户至少种植700株药材，就可获利不低于20万元20已知椭圆E：1（a0）的两个焦点为F1，F2，过右焦点F2作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF1的面积为（1）求a的值；（2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆x2+y2的两条切线，切点分别为C，D若直线CD在x轴、y轴上的截距分别
27、是m，n，问是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由解：（1）设椭圆的焦距为2c，则F1（c，0），F2（c，0），过右焦点F2作斜率为1的直线为：yxc，显然a2c2+1，故椭圆方程为，联立方程，整理可得：（2+c2）y2+2cy10，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y，因为三角形ABF1的面积S，且|y，则c，解得c1，所以a2c2+12，又a0，所以a；（2）设点P（x0，y0），由P是椭圆上的一点，|OP|，可知点P在圆x外，过P作圆的切线有两条，设切点C（x1，y1），D（x2，y2），CD是过P作圆的切线产生的切点弦，由C，D是切点知OCPC，ODPD，所以直线PC
28、：yy，因为C（x1，y1）在PC上，所以y，即直线PC：x，又因为C（x1，y1）在x上，则x，所以直线PC：x，同理直线PD：x，所以直线上有两点满足方程x，因为两点定唯一一条直线，所以直线CD的方程为：x，由直线CD在x轴，y轴的截距分别为m，n，于是m，又因为，故为定值21已知函数f（x）ex（a0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当b0，1）时，设函数g（x）（x0）有最小值h（b），求h（b）的最大值解：（1）函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），且f（x）ex+ex，令x2+ax+a0，则a24a，当0a4时，0，x2+ax+a0，即f（x）0且不恒为零，故f（x）的单
29、调递增区间为（，2）和（2，+），当a4时，0，方程x2+ax+a0的两根为x1，x2，由于x1（2）0，x2（2）0，（或令（x）x2+ax+a，（2）4a0）故x12x2，因此当x（，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（x1，2）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（2，x2）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（x2，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，综上，当0a4时，f（x）的单调递增区间为（，2）和（2，+）；当a4时，f（x）在（，）单调递增，在（，2）单调递减，在（2，）单调递减，在（，+）单调递增（2）由g（x），设k（x）ex+b（x0），由（1）知，a0时
30、，f（x）ex在（0，+）单调递增，故k（x）在区间（0，+）单调递增，由于k（2）b0，k（0）1+b0，故在（0，2上存在唯一x0，使k（x0）0，b，又当x（0，x0）时，k（x）0，即g（x）0，g（x）单调递减，当x（x0，+）时，k（x）0，即g（x）0，g（x）单调递增，故x（0，+）时，h（b）g（x0），x0（0，2，又设m（x），x（0，2，故m（x）0，所以m（x）在（0，2上单调递增，故m（x）m（2），即h（b）的最大值为选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2，曲线C2的极坐
31、标方程为1若正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1，）（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围解：（1）点A的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点B的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点C的极坐标为（），根据转换为直角坐标为（），点D的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），（2）曲线C1的极坐标方程为2，根据转换为直角坐标方程为，设P（2cos，sin），则|PA|2+|PC|2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|（1）求不等式f（x）+f（2x）4的
32、解集M；（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式f2（mx）+f（ax）m在1，+）上有解，求实数a的取值范围解：（1）由题意可知，f（x）+f（2x）|x1|+|2x1|4，当x1时，原不等式可化为3x24，解答x2，所以1x2；当x1时，原不等式可化为1x+2x14，解得x4，所以x1；当x时，原不等式可化为1x+12x4，解得x，所以x综上，不等式的解集Mx|x2（2）由题意，m2，在不等式等价为|2x1|2+|ax1|2，因为x1，所以|ax1|2（4x24x+1）4x2+4x+1，所以4x24x1ax14x2+4x+1，要使不等式在1，+）上有解，则（4x4）mina，所以0a2，即实数a的取值范围是0，2
