1、河南省商丘市、新乡市部分高中2021届高三数学3月模拟联考试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Mx|x24，N3，1，1，2，3，则MN（）A1，1，2B1，2，3C2，1，1，2D1，12已知复数z满足（2+i）z|43i|（i为虚数单位），则z（）A2+iB2iC1+2iD12i3已知tan，则tan2+4tan（）（）A1B2C1D04命题：若2a3b6，则1；若2a3b36，则+；若2a3b216，则类比命题，可得命题“若manbt（m，n均为于1的整数），则+”其中t（）AmknBmnkCkmnD（mn）k5已知椭圆C：1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭
2、圆C的上顶点，若F1PF2，则b（）A5B4C3D26数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1，l2，l3，以C为圆心、CB为半径作劣弧交l1于点C1；以A为圆心、AC1为半径作劣弧交l2于点A1；以B为圆心、BA1为半径作劣弧交l3于点B1，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，依次为a1，a2，a3，则a1+a2+a9（）A30B45C60D6
3、57已知ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD与BE交于点P，则（）A4B6C8D108古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用如图，粗实线画出的是某门墩的三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2dm），则该门墩的体积为（）A（48+）dm3B（48+）dm3Cdm3Ddm39设函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）ln（x），若af（21.1），bf（50.4），cf（ln），则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCbcaDcab10已知
4、双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为（）ABC2D11在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线x+y4上，过点P作圆O：x2+y24的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（）A1BCD212已知函数f（x）cos（x+）（N*），若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间（，）上存在最大值，则的取值个数为（）A4B3C2D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图是某高速公路测速点在2021年2月1日8：00到18：00时测得
5、的过往车辆的速度（单位：km/h）的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m ，此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为 km/h14设Sn为等比数列an的前n项和，且8a2a50，Sm5S2，则m的值是 15已知函数y（x0）图象的一条切线l1与直线l2：3x4y0垂直，则l1的方程为 16已知在正四面体ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的中点若BE+EF的最小值为，则该四面体外接球的表面积是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17在ABC中，角A，
6、B，C的对边分别为a，b，c，且2a+c2bcosC（1）求角B的大小；（2）设D为边AC上一点，ABDCBD，BD1，求ABC面积的最小值18叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选取的有A，B，C，D，E，F六种商品其中商品A，B每件价值3000元、商品C，D每件价值2000元、商品E，F每件价值1000元叶女士抽取到一张价值4000元的奖券（1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率；（2）若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件，选
7、取的商品总价值为其奖券价值，求她选取的商品件数不超过三件的概率19在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AC2AB2AD，ADCABC90（1）证明：平面PBD平面PAC；（2）若F是PC的中点，求证：BF平面PAD20已知抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，设G（x0，2）为抛物线E上一点，|GF|2（1）求抛物线E的方程；（2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的垂直平分线与x轴交于Q点，若|AB|2|PQ|，求点P的坐标21已知函数f（x）（x+a）lnxx（aR）（1）当a0时，是否存在唯一的x0（0，+），使得f（x0）1？并说明理由（2）讨
8、论f（x）的极值点的个数（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y40，曲线C的参数方程为（t为参数）以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线（0，02）与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x1|（1）求不等式f（x）x+6的解集；（2）记f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a+bm，证明：参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Mx|x24
9、，N3，1，1，2，3，则MN（）A1，1，2B1，2，3C2，1，1，2D1，1解：Mx|2x2，N3，1，1，2，3，MN1，1，2故选：A2已知复数z满足（2+i）z|43i|（i为虚数单位），则z（）A2+iB2iC1+2iD12i解：由（2+i）z|43i|，得z，故选：B3已知tan，则tan2+4tan（）（）A1B2C1D0解：tan，tan2+4tan（）故选：D4命题：若2a3b6，则1；若2a3b36，则+；若2a3b216，则类比命题，可得命题“若manbt（m，n均为于1的整数），则+”其中t（）AmknBmnkCkmnD（mn）k解：对于，6（23）1，对于：36（
10、23）2，对于：216（23）3，类比，可得t（mn）k，故选：D5已知椭圆C：1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若F1PF2，则b（）A5B4C3D2解：由椭圆的方程可得：c由F1PF2，则F2PO，所以tanF2PO，所以可得b3，故选：C6数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1，l2，l3，以C为圆心、CB为半径作劣弧交l1于点C1；以A为圆心、AC1为
11、半径作劣弧交l2于点A1；以B为圆心、BA1为半径作劣弧交l3于点B1，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，依次为a1，a2，a3，则a1+a2+a9（）A30B45C60D65解：由题意可知，第n个劣弧的半径为n，圆心角为，所以第n个劣弧的弧长，所以a1+a2+a930故选：A7已知ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD与BE交于点P，则（）A4B6C8D10解：因为ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，所以ADBC，由数量积的几何意义可知|cosPBC|248故选：C8古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，
12、称为门墩，亦称门枕石门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用如图，粗实线画出的是某门墩的三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2dm），则该门墩的体积为（）A（48+）dm3B（48+）dm3Cdm3Ddm3解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由球和一个棱台组成的组合体；所以，故选：A9设函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）ln（x），若af（21.1），bf（50.4），cf（ln），则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCbcaDcab解：因为x0时，f（x）ln（x），所以x0时，x0，所以f（x）lnxf（x）
13、，因为x0时，f（x）lnx单调递增，因为lnlne1，50.41，则bc，因为21.150.41，故21.150.4，故ab综上abc故选：B10已知双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为（）ABC2D解：设F2（c，0），E的一条渐近线的方程为yx，过F2与E的一条渐近线垂直的直线PF2的方程为y（xc），联立可得垂足T（，），由T恰好为线段PF2的中点，可得P（c，），将P的坐标代入双曲线的方程可得，（）21，由e，可得（e）21，解得e，故选：D11在平面直角坐标系xOy
14、中，已知点P在直线x+y4上，过点P作圆O：x2+y24的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（）A1BCD2解：根据题意，设P（m，n）为直线l：x+y4上的一点，则m+n4，过点P作圆O：x2+y24的切线，切点分别为A、B，则有OAPA，OBPB，则点A、B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的圆心为（，），半径r|OP|，则其方程为（x）2+（y）2，变形可得x2+y2mxny0，联立，可得：mx+ny40，又由m+n4，则有mx+（4m）y40，变形可得m（xy）+4y40，则有，解可得xy1，故直线AB恒过定点（1，1），设M（1，1），到OMAB时，O到直线
15、AB的距离最大，其最大值为|OM|，故选：B12已知函数f（x）cos（x+）（N*），若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间（，）上存在最大值，则的取值个数为（）A4B3C2D1解：对于函数f（x）cos（x+）（N*），若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，4在区间（，）上存在最大值，当4时，4x+（ 4+，6+），满足条件；当3时，3x+（ +，+），满足条件；当2时，2x+（ 2+，3+），不满足条件；当1时，x+（ +，+），不满足条件，则的取值个数为2，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图是某高速公路测速点在2021年2月
16、1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度（单位：km/h）的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m0.04，此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为102km/h解：根据频率分布直方图的特点可知，（0.01+0.03+m+0.02）101，解得m0.04；各组的频率自左向右依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故平均速度约为850.1+950.3+1050.4+1150.2102（km/h）故答案为：0.04；10214设Sn为等比数列an的前n项和，且8a2a50，Sm5S2，则m的值是4解：设等比数列an的公比为q，由8a2a50可得：q38，解得：q2，Sm5S2，5，即12m1
17、5，解得：m4，故答案为：415已知函数y（x0）图象的一条切线l1与直线l2：3x4y0垂直，则l1的方程为4x+3y360解：函数y（x0）的导数为y，设切点为（m，n），可得切线的斜率为，又切线l1与直线l2：3x4y0垂直，可得，解得m，则n6，所以切线l1的方程为y6（x），即为4x+3y360故答案为：4x+3y36016已知在正四面体ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的中点若BE+EF的最小值为，则该四面体外接球的表面积是9解：将三角形ABC与三角形ACD展成平面，BE+EF的最小值，即为BF两点之间连线的距离，则BF，设AB2a，则BAD120，由余弦定理，解得a，则正四面
18、体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，（正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，面对角线长度为，棱长为x的正四面体的外接球半径为x）所以，设外接球半径为R，则R，则表面积S4R249故答案为：9三、解答题：共70分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a+c2bcosC（1）求角B的大小；（2）设D为边AC上一点，ABDCBD，BD1，求ABC面积
19、的最小值解：（1）由正弦定理知，2a+c2bcosC，2sinA+sinC2sinBcosC，又sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，2cosBsinC+sinC0，sinC0，cosB，B（0，），B（2）由（1）知，B，ABDCBD，在ABD中，由余弦定理知，AD2AB2+BD22ABBDcosABDc2+12c1c2c+1，在BCD中，由余弦定理知，CD2BC2+BD22BCBDcosCBDa2+12a1a2a+1，由角分线定理知，化简得（ac）（a+cac）0，当ac0，即ac时，ABC为等腰三角形，其面积为定值；当a+cac0时，有aca+c2，ac4，当且仅当
20、ac2时，等号成立，ABC的面积SacsinB4sin，ABC面积的最小值为18叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选取的有A，B，C，D，E，F六种商品其中商品A，B每件价值3000元、商品C，D每件价值2000元、商品E，F每件价值1000元叶女士抽取到一张价值4000元的奖券（1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率；（2）若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件，选取的商品总价值为其奖券价值，求她选取的商品件数不超过三件的概率解
21、：（1）解法一：她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，基本事件总数n20，她选取的商品价值恰好为其奖券价值指C或D种商品中选一件，E、F种商品中各选一件，不同的选法有m2，她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率P解法二：含商品A时，B，C，D，E，F中再选2件，基本事件有：ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，共10个，不含商品A时，从B，C，D，E，F中选3件，含有B时，再从C，D，E，F中选2件，基本事件有：BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，共6个，不含B时，从C，D，E，F中选3件，基本事件有：CDE，CDF，CEF，DEF，共
22、4个，基本事件总数为n10+6+420，其中总价值4000元的事件有：CEF，DEF，共2个，她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率P（2）价值4000元的基本事件：选取2件时：A，B选一，即AE，AF，BE，BF，共4个，从C，D中选，有CC，CD，DD，共3个，选取3件时，C，D选1，E，F选2，即CEE，CEF，CFF，DEF，DEE，DFF，共6个，选4件时，只能在E，F中选，即EEEE，EEEF，EEFF，EFFF，FFFF，共5个，基本事件总数n14+3+6+518，其中不超过3件的基本事件个数m14+3+613，她选取的商品件数不超过三件的概率为P19在四棱锥PABCD中，PA平
23、面ABCD，AC2AB2AD，ADCABC90（1）证明：平面PBD平面PAC；（2）若F是PC的中点，求证：BF平面PAD【解答】证明：（1）PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，ACAC，ABAD，ADCABC90，RtABCRtADC，可得BCDC，则ACBD，又PAACA，PA、AC平面PAC，BD平面PAC，而BD平面PBD，平面PBD平面PAC；（2）设线段AC的中点为O，连接OB，OF，则OFPA，而PA平面PAD，OF平面PAD，OF平面PADABC90，BOACAD，同理DOACAB，又ABAD，四边形ABOD是平行四边形，BOAD，而AD平面PAD，BO平面PAD，
24、BO平面PAD又OBOFO，OB，OF平面OBF，面OBF面PAD，又BF面OBF，BF面PAD20已知抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，设G（x0，2）为抛物线E上一点，|GF|2（1）求抛物线E的方程；（2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的垂直平分线与x轴交于Q点，若|AB|2|PQ|，求点P的坐标解：（1）点G在抛物线E上，42px0，又|GF|2，联立可得p2，故抛物线E的方程为y24x；（2）设P（n，0），直线AB的方程为xty+n，代入y24x并整理，得y24ty4n0由题意得，16t2+16n0，即t2+n0，设A（x1，y1），B
25、（x2，y2），则y1+y24t，y1y24n，|AB|设AB的中点为R（x0，y0），则，x0ty0+n，即R（2t2+n，2t），直线RQ的方程为y2tt（x2t2n），令y0，得x2t2+n+2，Q（2t2+n+2，0），|PQ|2t2+n+2n|2|t2+1|2（t2+1），由|AB|2|PQ|，得，解得n1，适合16t2+16n0故P点坐标为（1，0）21已知函数f（x）（x+a）lnxx（aR）（1）当a0时，是否存在唯一的x0（0，+），使得f（x0）1？并说明理由（2）讨论f（x）的极值点的个数解：f（x）的定义域为（0，+），（1）当a0时，f（x）xInxx，f（x）0，当
26、0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，x1是f（x）的极小值点，也是f（x）的最小值点，且f（x）minf（1）1故存在唯一的x01，使得f（x0）1（2）f（x）（x+a）+Inx1令h（x）a+xInx，则h（x）Inx+1，当0x时，h（x）0，当x时，h（x）0，函数h（x）在（0，）上单调递减，在（，+），h（x）minh（）a当a时，h（x）min0，对x（0，+），h（x）h（x）min0，对x（0，+），f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值点当a时，h（x）mina0，若a0，x（0，）时，x
27、Inx0，对x（0，），h（x）0h（ea+1）a+ea+1（a+1）a（1ea+1）+ea+10，x0（e1，ea+1），使得h（x0）0，当x（0，x0）时，h（x）0，当x（x0，+）时，h（x）0，在（0，x0）上，f（x）0，在（x0，+）上，f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，当a0时，f（x）有一个极小值点，无极大值点若0a时，在（0，）上，因x0时，xInx0，h（x）（a，a），在（，+）上，h（ea）a+eaIneaa（1+ea）0，且h（x）在（，+）上单调递增，h（x）（a，+），f（x）在（0，），（，+）上各有一个零点x1，x2列
28、表如下：当0a时，f（x）有两个极值点综上：当a0时，函数f（x）有一个极值点；当0a时，函数f（x）有两个极值点；当a时，函数f（x）无极值点（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y40，曲线C的参数方程为（t为参数）以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线（0，02）与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值解：（1）由xcos，ysin，x2+y22，可得直线l的极坐标方程为cos+sin40，即有；
29、曲线C的参数方程为（t为参数），可得sin2t+cos2t+x21，则2cos2+2sin21，即为2；（2）设M（1，），N（2，），其中0或2，则+1+1+sin（2+），由sin（2+）1即或时，取得最小值1选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x1|（1）求不等式f（x）x+6的解集；（2）记f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a+bm，证明：解：（1）|x+1|+|x1|x+6等价为或或，解得2x1或1x1或1x6，所以原不等式的解集为2，6；（2）证明：由f（x）|x+1|+|x1|x+1+1x|2，当1x1时，取得等号，所以m2，即有a+b2，a，b0，则+（a+2+b+2）（+）（1+1+）（2+2），当且仅当a+2b+2，即ab1时，取得等号所以