1、三角函数 天津第一百中学 陈洪波 复 习 课 三角函数复习知识网络（观察网络，回顾概念及公式）任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象 xAysin已知三角函数值，求角一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边),(零角（）终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。（）象限角、轴线角与区间角的区别 Zkkk 2,2xyOxyOxyOxyO（）角的终边落在“射线上”、“直线上”及
2、“互相垂直的两条直线上”的一般表示式Zkk2ZkkZkk2几点注意0306454360212032135431506527023180360290特殊角的角度数与弧度数的对应表角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式（）角度与弧度的换算=18001rad=180010=180rad（）弧长公式与扇形面积公式=rl1、弧长公式：2、扇形面积公式：S=12 rlS=12 r2弧度 0度2、角度与弧度的互化、任意角的三角函数定义xyoP(x,y)r的终边yxxryrxyrxrycot,sec,csctan,cos,sin4、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1seccos1cscsin1
3、cottan商关系：sincoscotcossintan平方关系：222222csccot1sectan11cossin22yxr定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”5、诱导公式：,:2符号看象限奇变偶不变口诀为的各三角函数值的化简诱导公式是针对 k例：)23sin(cos（即把 看作是锐角）)2cos(sin)sin(sin)cos(cos二、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo),(111yxp),(222yxp22122121)()(|yyxxpp),(21 yxQ2、两角和与差的三角函数sinsincoscos)cos(sincoscossin)
4、sin(tantan1tantan)tan(注：公式的逆用及变形的应用)tantan1)(tan(tantan公式变形cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan降幂公式22cos1cos222cos1sin222cos1cos22cos1sin2cos12cos1tan半角公式3、二倍角的三角函数sin2x=2sinxcosxcos2x=cos 2x-sin 2x=2sinxcosx1=2sinxcosxcos 2x+sin2x=2tanx1+tan 2x=cos 2x-sin2x1=cos 2x-sin2xcos 2x+
5、sin2x=1-tan 2x1+tan 2xtan2x=2tanx1-tan 2x二倍角的三角函数万能公式三角函数复习-三角变换-角的变换=+-4=+-+4 2=+-+2 =-2-2-辅助角公式asin+bcos=a2+b2sin+三、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性质定义域RR值 域-1，1-1，1周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性增函数22,22kk减函数232,22kk增函数2,2kk减函数2,2kko1、正弦、余弦函数的图象与性质、正切函数的图象与性质y=tanx图象22xyo2323定义域值域,2|ZkkxxR奇偶性
6、奇函数周期性T单调性)(2,2(Zkkk对称中心渐近线)()0,21(ZkkZkkx,2、函数的图象（A0,0 )sin(xAyxysin第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位00|)sin(xy横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变110 1)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy4、已知三角函数值求角反正弦arcsina表示在正弦值为a的那个角2,21,1a,0)2,2(Ra反三角反余弦arccosa表示在余弦值为a的那个角1,1a反正切arctana表示在正切值为a的那个角sin(arcsina)=a，1,1aar
7、csin(-a)=-arcsina，1,1a若 则arcsin(sina)=a2,0acos(arccosa)=a，1,1aarccos(-a)=arccosa，若 则arccos(cosa)=a2,0atan(arctana)=a，arctan(-a)=-arctana，Ra若 ,则arctan(tana)=a)2,0(a4、已知三角函数值求角已知角x()的三角函数值求x的步骤2,0 x先确定x是第几象限角若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据x是第几象限角，求出x若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得x=；若x为第四象限角
8、，即得x=若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。1x1x1x1x12xRx例1：已知是第三象限角，且，求。四、主要题型31costan为第三象限角解：322)31(1cos1sin2222cossintan应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；例2：已知，计算2tancossin2cossin3 cossin解:coscossin2coscossin3cossin2cossin31tan21tan3371221231cossincossin22cossincossin1tantan2521222应用：关于的齐次式cossin 与例3：已知，)4,0(),43,4(,135)4c
9、os(,53)4sin(且)sin(求解:)(2cos)sin()4()4cos()4sin()4sin()4cos()4cos(54)4cos()43,4(,53)4sin(且1312)4sin(),4,0(,135)4cos(且6556)13125313554(上式应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2,222tan2解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2322sincossincos应用：化简求值例5:已知函数求：函数的最小正周期；函数的单增区间；函数的最大值 及相应的x的值；函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx 22T得由,224222kxkZkkxk,883)(8,83Zkkk函数的单增区间为22,)(8,2242最大值时即当yZkkxkxxy2sin2图象向左平移个单位8)42sin(2xy图象向上平移2个单位)42sin(22xy应用：化同一个角同一个函数