1、基本不等式建议用时：45分钟一、选择题1(多选题)下列不等式证明过程正确的是()A若a，bR，则22B若x1，y1，则lg xlg y2C若x0，则x24D若x0，则2x2x22BDA错误，a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确，lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式； C错误，x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，2x和2x都是正实数，故2x2x22成立，当且仅当2x2x相等时(即x0时)，等号成立，故选BD.2正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A3，)B(，3C(，6 D6，)D因为a0，b0，1，所以ab(
2、ab)1016，当且仅当，即a4，b12时取等号依题意，16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立又x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.3若正数m，n满足2mn1，则的最小值为()A32 B3C22 D3A因为2mn1，所以(2mn)33232，当且仅当，即nm时等号成立，所以的最小值为32，故选A.4(2019长沙模拟)若a0，b0，abab，则ab的最小值为()A2 B4 C6 D8B法一：(直接法)由于abab，因此ab4，当且仅当ab2时取等号，故选B.法二：(常数代换法)由题意，得1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取等号，故选B
3、.5.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，b0)Ba2b22(a0，b0)C.(a0，b0)D.(a0，b0)D由ACa，BCb，可得圆O的半径r，又OCOBBCb，则FC2OC2OF2，再根据题图知FOFC，即，当且仅当ab时取等号故选D.二、填空题6若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_对任意x0，a恒成立，对x(0，)，amax，而对
4、x(0，)，当且仅当x时等号成立，a.7如图，已知正方形OABC，其中OAa(a1)，函数y3x2交BC于点P，函数yx交AB于点Q，当|AQ|CP|最小时，则a的值为_由题意得：P点坐标为，Q点坐标为，|AQ|CP|2，当且仅当a时，取最小值8(2019天津高考)设x0，y0，x2y4，则的最小值为_2.因为x0，y0，x2y4，所以x2y42，即2,0xy2，当且仅当x2y2时等号成立所以225，所以的最小值为.三、解答题9已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x4y，即x16
5、，y4时等号成立故xy的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x8yxy0，得x，因为x0，y0，所以y2，则xyy(y2)1018，当且仅当y2，即y6，x12时等号成立故xy的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18，当且仅当y6，x12时等号成立，故xy的最小值为18.10某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将
6、每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1，13k，k2，x3，每万件产品的销售价格为1.5(万元)，2020年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0)(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1，即m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元1已知函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1
7、)处的切线的斜率为2，则的最小值是()A10 B9C8 D3B由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选B.2(2019湖南师大附中模拟)已知ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为()A. 2 B. 2C4 D. 22 D因为ABC的面积为1，内切圆半径也为1, 所以(abc)11，所以abc2，所以222，当且仅当abc，即c22时，等号成立，所以的最小值为22. 3.(2018江苏高考)
8、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_9法一：依题意画出图形，如图所示易知SABDSBCDSABC，即csin 60asin 60acsin 120，acac，1，4ac(4ac)59，当且仅当，即a，c3时取“”法二：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(1,0)，ABc，BCa，A，C.A，D，C三点共线，.c0，acac，1，4ac(4ac)59，当且仅当， 即a，c3时取“”4某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路
9、(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？解(1)由题意可得xy1 800，b2a，则yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)1 8083xy(x3，y3)(2)S1 8083x1 8081 80821 8082401 568，当且仅当3x，即x40时等号成立，S取得最大值，此时y45，所以当x40，y45时，S取得最大值1在ABC中，点P满足2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若m，n(m0，n0)，则m2n的最小值为()A3B4 C.D.A()，M，P，N 三点共线，1，m2n(m2n)23，当且仅当mn1时等号成立2(2019定州期中)已知函数f(x)log2(x)，若对任意的正数a，b，满足f(a)f(3b1)0，则的最小值为()A6 B8C12 D24C易知函数f(x)log2(x)的定义域为R，又f(x)log2(x)log2，所以f(x)为R上的减函数又f(x)log2(x)，所以f(x)f(x)，即f(x)为奇函数，因为f(a)f(3b1)0，所以f(a)f(13b)，所以a13b，即a3b1，所以(a3b)6，因为26，所以(a3b)612(当且仅当a，b时，等号成立)，故选C.
