1、第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念课标要求考情分析1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.知道指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1)对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误.本讲重点解决求函数的定义域，但也涉及反函数的概念及求法映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合A
2、中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合 A到集合 B 的映射，通常记为 f：AB函数概念设 A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，通常记为 yf(x)，xA三个要素定义域x 的取值集合 A值域函数值的集合f(x)|xA对应关系 f(续表)题组一走出误区1.(多选题)下列判断不正确的为()A.函数 f(x)的图象与直线 x1 的交点只有 1 个C.yln x2 与 y2ln x 表示同一函数D.若两个函
3、数的定义域与值域相同，则这两个函数相等答案：ACD题组二走进教材2.(必修 1P23 第2 题改编)图 2-1-1 的四个图象中，是函数图象的是()图 2-1-1A.B.C.D.解析：由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知不是函数图象，是函数图象.答案：BA.(0，2)C.(2，)B.(0，2D.2，)解析：由已知 log2x10，log2x1，解得 x2，故选 C.答案：C题组三真题展现)4.(2019 年上海)下列函数中，值域为0，)的是(域为0，)，值域也是0，)，故 B 正确；ytan x 的值域为(，)，故 C 错误；ycos x 的值域为1，1，故D 错误.答案：B5.(2
4、020 年北京)函数 f(x)1x1ln x 的定义域是_.x0，x10，x0，故答案为(0，).解析：由题意得答案：(0，)考点 1 映射与函数的概念 自主练习1.下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的有_：AN*，BN*，对应关系 f：x|x3|；A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系 f；作圆的内接矩形；设 A矩形，B实数，对应关系 f：矩形和它的面积对应.A高一(1)班的男生，BR，对应关系 f：每个男生对应自己的身高；解析：A 中元素 3 在对应关系 f 的作用下与 3 的差的绝对值为 0，而 0 B，故不是映射.因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B
5、中有无数个元素与之对应，故不是映射.因为一个矩形都有唯一一个面积，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射.高一(1)班任意一个男生都有唯一的身高，即对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射.因为A中每一个元素在 f：xy x 作用下对应的元素构成的集合，Cy|0y1B，符合映射定义，是映射.对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射.答案：)2.(多选题)下列各组函数表示不同函数的是(为0，)，定义域不同，所以是不同函数；对于 B，f(x)1 的定义域
6、为 R，g(x)x0 定义域为x|x0，定义域不同，所以是不同函数；对于 C，f(x)|x|的定义域为 R，g(x)|x|的定义域为R，解析式相同，所以是相同函数；对于 D，f(x)x1 定义域为 R，g(x)x21x1定义域为x|x1，定义域不同，所以是不同函数.综上可知，表示不同函数的为 ABD.故选 ABD.答案：ABD3.(2015 年浙江)存在函数 f(x)，满足对任意 xR 都有()A.f(sin 2x)sin xC.f(x21)|x1|B.f(sin 2x)x2xD.f(x22x)|x1|解析：利用排除法：取 x0，可知 f(sin 0)f(0)sin 00，矛盾，所以 B 错误
7、；取 x1，可知 f(2)2，再取 x1，可知 f(2)0，矛盾，C 错误.故选 D.答案：D4.已知映射 f：AB，其中 ABR，对应法则 f：xyx22x2，若对实数 kB，在集合 A 中没有元素对应，则 k)的取值范围是(A.(，1C.(1，)B.(，1)D.1，)解析：设 kx22x2 即 x22x2k0，k 没有元素对应即上述方程无解0，(2)24(2k)0，k1，故选 B.答案：B【题后反思】理解映射的概念，应注意以下几点：(1)映射是一种特殊的对应，它具有方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的；唯一性：集合 A 中的任意一个元素在集合
8、 B 中都有唯一的元素与之对应，可以是一对一，多对一，但不能一对多.(2)映射的判断方法依据映射的定义：先看集合 A 中每一个元素在集合 B 中是否均有对应元素.若有，看对应元素是否唯一；集合 B 中有剩余元素不影响映射的成立.对应是一对一或多对一.考点 2 函数的定义域 师生互动考向 1 具体函数的定义域解析：要使函数f(x)有意义，则log2x10.解得x2.即函数 f(x)的定义域为2，).答案：2，)解析：由已知得 76xx20，即x26x70，解得1x7，故函数的定义域为1，7.答案：1，7(3)若函数 f(x)1x1，则函数 yf(f(x)的定义域为_.答案：x|xR，x1，且 x
9、2【规律方法】(1)求函数定义域的一般步骤：写出使得函数式有意义的不等式(组)；解不等式(组)；写出函数的定义域.(2)常见的一些具体函数的定义域：有分母的保证“分母0”；有开偶次方根的要保证“被开方数0”；有对数函数的保证“真数0，底数0，且底数1”.【考法全练】解析：要使函数 f(x)有意义，解得 1x2 或 2x10，所以函数 f(x)的定义域为(1，2)(2，10.答案：(1，2)(2，10考向 2 抽象(复合)函数的定义域例 2(1)已知函数 f(x)的定义域为(1，0)，则函数 f(2x1)的定义域为()解析：由函数 f(x)的定义域为(1，0)，则使函数 f(2x1)答案：B(2
10、)已知函数 f(2x1)的定义域为(1，0)，则函数 f(x)的定义域为()解析：f(2x1)的定义域为(1，0)，即1x0，12x10，1x0 时，函数 f(x)的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称，则 g(1)g(2)()A.13B.11C.9D.7解析：x0 时，f(x)的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx对称，x0时，f(x)2x，x0时，g(x)2xx2，又 g(x)是奇函数，g(1)g(2)g(1)g(2)(2144)11.故选 B.答案：B对信息给予题的理解(一)例 4如果函数 yf(x)(xD)满足；(1)f(x)在 D 上是单调函数；(2)存在闭区间a，bD，使 f(x)在区间a，b上的值域也是a，b.那么就称函数 yf(x)为闭函数.试判断函数 yx22x 在1，)内是否为闭函数.如果是闭函数，那么求出符合条件的区间a，b；如果不是闭函数，请说明理由.的保值区间，则f(x)(x1)21的保值区间为_.若函数 f(x)的定义域和值域都是a，b，则称a，b为 f(x)【高分训练】答案：1，3一点注意：解决函数问题时，一定要注意函数的定义域，尤其使用换元法求函数解析式时，要注意参数的取值范围.两点紧扣：判断两个函数是否为同一函数，要：(1)定义域；(2)对应关系.