1、专题能力训练13空间几何体一、能力突破训练1.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2.(2020全国,文9)右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+233.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示,一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1,则该蚂蚁走过的最短路径为()A.193B.25C.2193D.314.两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面,且两圆锥的顶点和
2、底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和,且该球的表面积为16,则圆柱的体积为()A.2B.83C.6D.85.某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积是()A.8B.123C.12D.486.(2020全国,文11)已知ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.327.某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆),则该几何体的体积为.8.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点
3、,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.9.如图,在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC平面DEFG,平面BEF平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为.10.我国古代数学名著九章算术商功中阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:四个侧面都是直角三角形;最长的侧棱长为26;四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;外接球的表面积为24.其中
4、正确的描述的序号为.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.二、思维提升训练12.一块边长为6 cm的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置.若其正视图为等腰直角三角形,则该容器的体积为()A.126 cm3B.46 cm3C.272 cm3D.92 cm31
5、3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.1B.52C.6D.2314.已知一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图,图中圆内有一个以圆心为中心,边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是()A.B.3C.4D.615.(2020全国,文16)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.(1)证明:AD平面DBC;(2)若在四面体D-A
6、BC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?专题能力训练13空间几何体一、能力突破训练1.A解析:根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.2.C解析:由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为31222+122222sin60=6+23.3.B解析:将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,如图所示.在展开图中,最短距离是6个矩形拼成的大矩形对角线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得正三棱柱底面三角形的边长为2332=4,所以大矩形的长等于46=24,宽等于7,由勾股定理求得d=242+72=25.4.C解析:设球的半径为R,
7、则4R2=16,解得R=2.如图,设圆锥的高AO1=x,底面半径O1C=y,则圆锥的母线长AC=x2+y2,圆柱的高为4-2x.依题意,得(2-x)2+y2=22,2y(4-2x)=2122yx2+y2,解得x=1,y=3.所以圆柱的体积V=Sh=y2(4-2x)=6.5.C解析:由三视图还原几何体,如图所示,可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为2,侧棱长为2.把该三棱柱补形为正方体,则正方体的对角线长为22+22+22=23.所以该三棱柱外接球的半径为3.故球O的表面积是4(3)2=12.6.C解析:设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,ABC的外接圆的半径为r,
8、则SABC=34a2=934,S球O=4R2=16,解得a=3,R=2.故r=2332a=3.设O到平面ABC的距离为d,则d2+r2=R2,故d=R2-r2=4-3=1.故选C.7.8-3解析:由三视图知,该几何体为四棱锥,其中挖去一个半圆锥,如图所示.所以体积V=V四棱锥-V半圆锥=13222-1213122=8-3.84解析:由底面边长为2,可得OC=1.设M为VC的中点,则O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=VC2-OC2=2,O1O=1.V圆柱=O1M2O1O=1221=4.9.4解析:(方法一:分割法)几何体有两对相对面互相平行,如图,过点C作CHDG于H,连接EH,即
9、把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意,知V三棱柱DEH-ABC=SDEHAD=12212=2,V三棱柱BEF-CHG=SBEFDE=12212=2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.(方法二:补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半.又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG=23=8,故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=128=4.10.解析:由三视图还原原几何体,如图所示,可知该几何体为四棱锥,PA底面ABCD,PA=2,底面ABCD为矩形,AB=
10、2,BC=4,则四个侧面都是直角三角形,故正确;最长侧棱为PC,长为26,故正确;由已知可得,PB=22,PC=26,PD=25,则四个侧面均不全等,故错误;把四棱锥补形为长方体,则其外接球的半径为12PC=6,其表面积为4(6)2=24,故正确.11.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9779也正确.二、思维提升训练12.D解析:如图(2),PM
11、N为该四棱锥的正视图,由图(1)可知,PM+PN=6cm,且PM=PN.由PMN为等腰直角三角形,得MN=32cm,PM=3cm.设MN的中点为O,则PO平面ABCD,PO=12MN=322cm,故VP-ABCD=13(32)2322=92(cm3).故选D.13.D解析:由题意,得该几何体的直观图为三棱锥A-BCD,如图,其最大面的表面是边长为22的等边三角形,其面积为34(22)2=23.14.B解析:由三视图可知,该四面体是一个正方体的内接正四面体,所以此四面体的外接球的直径为正方体的对角线的长,为3,所以此四面体的外接球的表面积为4322=3.15.23解析:(方法一)由题意可知圆锥轴
12、截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.如图,SB=3,BC=1,SC=SB2-BC2=22.设该球与母线SB相切于点O.令OC=OD=R,由SODSBC得ODBC=SOSB,即R1=22-R3,解得R=22.因此V球=43R3=43223=23.(方法二)由题意可知该圆锥的轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.该三角形的周长为8,面积为22,由于三角形面积S,周长C和内切圆半径R的关系为S=CR2,即R=2SC=22,故该球的体积为V球=43R3=43223=23.16.(1)证明设D在平面ABC内的投影为H,则H在AB上,连接DH,如图,则D
13、H平面ABC,得DHBC.又ABBC,ABDH=H,所以BC平面ADB,故ADBC.又ADDC,DCBC=C,所以AD平面DBC.(2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,则VD-ABC=13R(SABC+SDBC+SDAC+SDAB).由已知可得SABC=SADC=6.过D作DGAC于点G,连接GH,如图,可知HGAC.易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,SDAB=124374=372.在DAB和BCD中,因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以DABBCD,故SDBC=372,VD-ABC=136374=372.则R36+372+6+372=372,于是(4+7)R=372,所以R=372(4+7)=47-76.