1、渑池县高级中学2022届高三上学期入学数学检测试卷一、单选题1.已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，设 ， ，则 ， 的大小关系为（ ） A.B.C.D.无法确定2.已知 ， ，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( ) A.B.C.D.3.已知函数 给出下列结论： 的最小正周期为 ； 是 的最大值；把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象其中所有正确结论的序号是（ ）A.B.C.D.4.已知幂函数 x的图象经过点 （3，5），且a（ ） ， b ，clog ，则a，b，c的大小关系为（ ） A.cabB.acbC.abcD.cba5.已知单位向量 分别与平面直角
2、坐标系 轴的正方向同向，且向量 ， ，则平面四边形 的面积为（ ） A.B.C.10D.206.已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A.B.C.D.7.已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 的解集是（ ） A.B.C.D.8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 过 的直线与双曲线的左右两支分别交于 ， 两点， ， ，则双曲线的离心率为（ ） A.B.C.D.9.已知球 半径为 ，设 是球面上四个点，其中 ，则棱锥 的体积的最大值为（ ） A.B.C.D.10.已知等比数列 中， ， ，则 （ ） A.B.-8C.8D.1611.关于函数 ，有下列四个命题： 的值域是 ； 是
3、奇函数； 在 上单调递增；方程 总有四个不同的解；其中正确的是（ ） A.B.C.D.12.已知数列 中， ，若 ，设 ，若 ，则正整数m的最大值为（ ） A.1009B.1010C.2019D.202013.已知数列 满足0 p，且 ，则（ ） A.B.C.D.14.已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 的图象的一个对称中心可以为（ ） A.B.C.D.15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则的最小值为( ) A.B.C.D.16.已知函数 的图象的一条对称轴为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A.B.C.D.017.已
4、知函数 定义域为 ，记 的最大值为 ，则 的最小值为（ ） A.B.C.D.18.设数列 的前 项和为 ，当 时， ， ， 成等差数列，若 ，且 ，则 的最大值为（ ） A.63B.64C.65D.6619.已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段 的长度的最小值为（ ） A.B.C.D.20.已知函数 ，若方程 恰有两个不同的实数根 ， 则 的最大值是（ ） A.-1B.C.D.二、填空题21.（2x2+x1）5的展开式中，x3的系数为_ 22.已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 且斜率为3的直线l与双曲线C交于A，B两点，且 ， ，则实数 的值为_ 23.设曲
5、线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=_ 24.设抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为_ 25.在 的二项展开式中，常数项的值为_ 26.已知数列 的前 项和为 ，对任意 ， ，且 恒成立，则实数的取值范围是_ 三、解答题27.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为28sin+15=0 （）写出C1的参数方程和C2的直角坐标方程；（）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最大值 28.已知椭圆 的右焦点F
6、（1，0），椭圆的左，右顶点分别为M，N过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且MCD的面积是NCD的面积的3倍（）求椭圆的方程；（）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆上位于直线CD两侧的动点，且满足ACD=BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由29.已知函数 . （）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求切线的方程；（）若 的极大值和极小值分别为 ， ，证明： .30.在直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上且 轴，直线 交 轴于 点， ，椭圆 的离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过 的直线交椭圆 于 两点，且满足 ，求 的面积. 31.在直角坐标系 中，曲
7、线 的参数方程为 （为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设A、B为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 ，射线 ， 交曲线 分别于点D，C.求 面积的最小值，并求此时四边形 的面积. 32.如图，ABCD是平行四边形， 平面ABCD， ， ， ， ，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点. （1）求证： ； （2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值. 33.已知椭圆C： + =1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上
8、（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点答案解析部分一、单选题1.【答案】 A 2.【答案】 B 3.【答案】 B 4.【答案】 A 5.【答案】 C 6.【答案】 D 7.【答案】 A 8.【答案】 C 9.【答案】 A 10.【答案】 C 11.【答案】 C 12.【答案】 B 13.【答案】 A 14.【答案】 C 15.【答案】 B 16.【答案】 A 17.【答案】 C 18.【答案】 A 19.【答案】 A 20.【答案】 B 二、填空题21.【答案】 -30 22.【答案】 3 23.【答案
9、】 -2 24.【答案】 1 25.【答案】 15 26.【答案】 三、解答题27.【答案】解：（）曲线C1的方程为 ，参数方程为 （为参数） 曲线C2的极坐标方程为28sin+15=0，直角坐标方程为x2+y28y+15=0，即（x4）2+y2=1；（）设P（3cos，sin），则|PC2|= = ，cos=1，|PC2|max=7，|PQ|的最大值为7+1=8 28.【答案】 解：（I）因为椭圆 的右焦点F（1，0），所以c=1，因为MCD的面积是NCD的面积的3倍，所以MF=3NF，即a+c=3（ac），所以a=2c=2，所以b2=3，则椭圆的方程为 （II）解法一：当ACD=BCD，则
10、kAC+kBC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为k，不妨设点C在x轴上方， ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则AC的直线方程为 ，代入 中整理得（3+4k2）x24k（2k3）x+4k212k3=0， ；同理 所以 ， 则 = = ，因此直线AB的斜率是定值 （II）解法二：依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m，代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），所以 ， ，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=16（12k23m2+9）0当ACD=BCD，则kAC+kBC=0，不妨
11、设点C在x轴上方， ，所以 ，整理得 ，所以 ，整理得12k2+12（m2）k+96m=0，即（6k3）（2k+2m3）=0，所以2k+2m3=0或6k3=0当2k+2m3=0时，直线AB过定点 ，不合题意；当6k3=0时， ，符合题意，所以直线AB的斜率是定值 29.【答案】 解：（）由题意，求得函数的导数 ，因为 ，即切线的斜率为 ， 又由切线与直线 垂直，所以 ，解得 ，即切线的斜率为 ，又由 ，即直线过点 ，所以曲线 在点 处的切线的方程为 .（）设 为方程 的两个实数根，则 ，由题意得 ，解得 ，又因为函数 的极大值和极小值分别为 ， ，则 .令 ，则 ，当 时， ，所以 是增函数，
12、则 ，即 .30.【答案】 （1）解：设 ，由题意可得 . 因为 是 的中位线，且 ，所以 ，即 ，因为 进而得 ，所以椭圆方程为 （2）解：由已知得 两边平方 整理可得 .当直线斜率为 时，显然不成立.直线斜率不为 时，设直线的方程为 ，联立 消去 ，得 ，所以 ，由 得 将 代入整理得 ，展开得 ，整理得 ，所以 .即为所求.31.【答案】 （1）解：由曲线 的参数方程为 （为参数） 消去参数得 即曲线 的极坐标方程为： ，化简为： 的极坐标方程为 可得 ，根据极坐标与直角坐标的互化公式： 故： ，曲线 的直角坐标方程： .（2）解：设 ： ， ，故 根据均值不等式可得： ，当且仅当 （即
13、 ）时取“=”.，此时 故所求四边形的面积为 .32.【答案】 （1）求证：由题意，因为 平面 ， ， ， ， ， ，而 ， 面 ， ，在 中 分别为 的中点， ， ，同理 ，而 ， 面 ， （2）解：因为 平面 ， ，所 ， ， 又因为 ， ， ，所以 ，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 所以 ， ， ，由（1）知，平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，令 ，可得 ， ，所以 ，所以 ，即平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 .33.【答案】 （1）解：根据椭圆的对称性，P3（1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，椭圆必不
14、过P1（1，1），P2（0，1），P3（1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3（1， ）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为 =1（2）证明：当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，yA），直线P2A与直线P2B的斜率的和为1， = = =1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，x1x2= ，则 = = = = =1，又b1，b=2k1，此时=64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为y=kx2k1，当x=2时，y=1，l过定点（2，1）
