1、湖南省永州市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分2.全卷满分150分，时间120分钟3.考生务必将第I卷和第ll卷的答案填入相应的答题卡内第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1.是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】B【解析】【分析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案【详解】由题意，所以表示第二象限角，故选B【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限
2、角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题2.一元二次不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案【详解】由题意，不等式，即或，解得，即不等式的解集为，故选C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题3.己知弧长的弧所对的圆心角为弧度，则这条弧所在的圆的半径为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用弧长公式列出方程直接求解，即可得到答案【详解】由题意，弧长的弧所对的圆心角为2弧度，则，解得，故选D【点睛
3、】本题主要考查了圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题4.化简的结果是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案【详解】根据平面向量加法及数乘几何意义，可得，故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题5.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A. 二升B. 三升C. 四升D. 五升【答案】B【解析】【分析】由题意可得，上
4、、中、下三节的容量成等差数列再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为，故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6.已知的模为且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解【详解】由题意，则在方向上的投影为，解得，又因为，所以与的夹角为，故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中
5、解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题7.函数的最小正周期是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解【详解】由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题8.生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）A. B. C. D.
6、 【答案】B【解析】【分析】由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先根据图象确定A的值，进而根据三
7、角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果【详解】由题意，函数的部分图象，可得，即，所以，再根据五点法作图，可得，求得，故函数的图象向左平移个单位，可得的图象，则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题10.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已
8、、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（）A. 丁申年B. 丙寅年C. 丁酉年D. 戊辰年【答案】C【解析】【分析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果【详解】由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用等差数列的定义，以及等差数列的性质求解是
9、解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11.正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为。若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论【详解】由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为， 以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为， 则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，又因为分别为的最小值、最大值，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量
10、的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题12.设为中的三边长，且，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解【详解】由题意，记，又由，则，又为ABC的三边长，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨设，且为的三边长，所以令，则，当时，可得，从而，当且仅当时取等号故选：B【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着
11、重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题第II卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13.若向量与平行则_【答案】【解析】【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值【详解】由题意，向量与平行，所以，解得故答案为【点睛】本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题14.已知满足约束条件，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件 作出可行域，
12、如图所示，化目标函数为，由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，所以有最大值为故答案3【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.在正数数列中，且点在直线上，则前项和等于_【答案】【解析】【分析】在正数数列中，由点在直线上，知，所以，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n项和，得到答案【详解】由题意，在正数数列中，且在直线上，可得，所以，即，因为，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列，所以，故答案为：【点
13、睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题16.已知函数，有以下结论：若，则：在区间上增函数：的图象与图象关于轴对称：设函数，当时，其中正确的结论为_【答案】【解析】【分析】利用二倍角和辅助角对函数化简可得，结合三角函数的性质依次判断各结论，即可得到答案【详解】由题意，函数，对于：若，可知关于对称轴是对称的，即，所以不对；对于：令，可得；在区间上是增函数，所以正确；对于：的图象关于轴对称，即关于轴对称的点是，可
14、得 ，所以正确；对于：设函数 ，当时，所以正确故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题三、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.己知角的终边经过点求的值；求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果（2）利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果【详解】（1）由题意，由角的终边经过点，根据三角函数的定义，可得由知，则【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的关系式的变换，诱
15、导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18.在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点为线段上靠近点的三等分点求点的坐标：若点在轴上，且直线与直线垂直，求点的坐标【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q的坐标【详解】设，因为，所以，又，所以，解得，从而设，所以，由已知直线与直线垂直，所以则，解得，所以【点睛】本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力1
16、9.遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一游客乘船进行观光，到达潇水河河面的处时测得塔顶在北偏东45的方向上，然后向正北方向行驶后到达处，测得此塔顶在南偏东的方向上，仰角为，且，若塔底与河面在同一水平面上，求此塔的高度【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案【详解】由题意，在中，故又，故由正弦定理得：，解得，因为，所以，所以【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中熟练应用正弦定理和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题20.已知数列的前项和，且满足：，.（1）
17、求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由当时，有，得：化简得：，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）得：， 21.近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为元，且渗水面积以每天的速度扩散当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装
18、补贴费为每人元，劳务费及耗材费为每人每天元若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作写出关于的函数关系式；应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小（总损失因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）【答案】（1）（2）应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小【解析】【分析】（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得，所以；（2）损失包渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析式，再利用基本不等式，即可得到结果【详解】由题意，可得，所以设总损失为元，则当且仅当，即时，等号成立，所以应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问
19、题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力22.如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为若，求的值；若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；（2）由正弦函数的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范围，再由数列的单调性，讨论的范围，即可得到的取值范围【详解】依题意，可得，由，得，又，所以由得因为，所以，所以，当时，（当且仅当时，等号成立）又因为对任意，存在，使得成立，所以，即，解得，因为数列为递增数列，且，所以，从而，又，所以，从而，又，当时，从而，此时与同号，又，即，当时，由于趋向于正无穷大时，与趋向于相等，从而与趋向于相等，即存在正整数，使，从而，此时与异号，与数列为递增数列矛盾，综上，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法和数列的单调性的判断和运用，试题综合性强，属于难题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力