1、第17讲导数与函数的极值、最值课标要求考情分析1.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.3.体会导数在解决实际问题中的作用本节复习时，要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e 为底)的综合题.要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法.分类讨论思想(如参数问题的讨论)；数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等)利用导数解
2、决实际生活中的优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域；(2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案.题组一走出误区1.(多选题)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图 2-17-1所示，以下命题错误的是()A.3 是函数 yf(x)的极值点B.1 是函数 yf(x)的最小值点图 2-17-1C.yf(x)在区间(3，1)上单调递增D.yf(x)在 x0 处切线的斜率小于零解析
3、：根据导函数的图象可知当 x(，3)时，f(x)0，在 x(3，1)时，f(x)0，函数 yf(x)在(，3)上单调递减，函数 yf(x)在(3，1)上单调递增，则3 是函数 yf(x)的极值点，函数 yf(x)在(3，1)上单调递增，则1 不是函数 yf(x)的最小值点，函数 yf(x)在 x0 处的导数大于 0，则 yf(x)在 x0处切线的斜率大于零.所以命题错误的选项为 BD.答案：BD题组二走进教材x_时，f(x)有极大值，极大值为_.解析：f(x)x24(x2)(x2)，当 x2 时，f(x)单调递增；当2x2 时，f(x)单调递增.所以当 x2 时，f(x)有极大值，极大值为 f
4、(2)283.3.(选修 22P32A 组第 6 题改编)函数 f(x)ln xx 在区间(0，e上的最大值为()A.1eB.1C.eD.0当 x(1，e时，f(x)0，解得 x1，所以 f(x)在(，2)，(1，)单调递增，在(2，1)单调递减所以 f(x)极小值为 f(1)(111)e111，故选 A.答案：A5.(2017年全国)若 x2是函数 f(x)(x2ax1)ex1的因为 f(2)0，所以 a1，f(x)(x2x1)ex1，故考点 1 函数的极值 自主练习1.(多选题)如图 2-17-2 是函数 yf(x)导函数 yf(x)的图象，下列选项中正确的是()A.在 x2 处导函数 y
5、f(x)有极大值B.在 x1，x4 处导函数 f(x)有极小值C.在 x3 处函数 f(x)有极大值D.在 x5 处函数 f(x)有极小值图 2-17-2解析：根据导函数 f(x)的图象可知：x1，x4 的两侧 f(x)左减右增，所以在 x1，x4 处导函数 yf(x)有极小值；x2 的两侧 f(x)左增右减，所以在 x2 处导函数 yf(x)有极大值.根据导函数 f(x)的图象可知：x3 的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在 x3 处函数 yf(x)有极大值.x5 的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在 x5 处函数 yf(x)有极小值.而x1，x2，x4 左右两侧导函数符号相同，原函
6、数 f(x)不取得极值.故选 ABCD.答案：ABCD2.(2020 年广东湛江二模)函数 f(x)ax36x 的一个极值点为 1，则 f(x)的极大值是()A.4B.2C.4D.2解析：f(x)ax36x，可得 f(x)3ax26，f(x)ax36x的一个极值点为 1，所以 3a60，解得 a2，因为 f(x)6(x1)(x1)，所以 f(x)在(，1)，(1，)上是增函数，在(1，1)上是减函数，所以 x1 时，函数取得极大值：f(1)4.故选 C.答案：C(1)若 x 1 是 f(x)的极大值点，则实数 a 的取值范围为_；(3)若 f(x)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_.若
7、a0，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)1.(2)由 f(1)0，得 b1a，从而 b2，ab5.(3)f(x)0 有两正根，即 ax2(1a)x10 有两正根，实数 a 的取值范围是(，1)(1，0).答案：(1)a1(2)5 (3)(，1)(1，0)【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数 f(x)的定义域；求 f(x)，令 f(x)0，求出它在定义域内的一切实根；把函数 f(x)的间断点即 f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定 f(x)在各个开区间内的符号，
8、根据 f(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.(2)可导函数极值存在的条件：可导函数的极值点 x0 一定满足 f(x0)0，但当 f(x1)0 时，x1 不一定是极值点.如 f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值点；可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同.考点 2 函数的最值 师生互动例 1(2020 年北京)已知函数 f(x)12x2.(1)求曲线 yf(x)的斜率等于2 的切线方程；(2)设曲线 yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)，求 S(t)的最小
9、值.解：(1)因为 f(x)12x2，所以 f(x)2x，设切点为(x0，12x0)，则2x02，即 x01，所以切点为(1，11)，由点斜式可得切线方程：y112(x1)，即 2xy130.(2)显然 t0，因为 yf(x)在点(t，12t2)处的切线方程为：y(12t2)2t(xt)，不妨设 t0(t0，得 t2，由 S(t)0，得 0t0 时，g(x)0；x0；当 x(20，30)时，V0 和 f(x)0 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.【考法全练】用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折
10、起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的)边长为(A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm解析：设四角截去的小正方形边长为 x cm，则 V(482x)2x4x3448x2482x(0 x24)，V12x2848x48212(x284x484)12(x24)(x8).当 0 x0；当 8x24 时，V0 时，h(x)xsin x0，当 x0 时，h(x)xsin x0 时，当 x0 恒成立，故 F(x)在(，0)上单调递增，当 xa 时，F(x)0 恒成立，故 F(x)在(a，)上单调递增，当 0 xa 时，F(x)0 恒成立，故 F(x)在(0，a)上单调递减
11、，故有 2 个极值；若 a0 时，F(x)0 恒成立，故 F(x)在(0，)上单调递增，当 x0 恒成立，故 F(x)在(，a)上单调递增，当 ax0 时，F(x)0 时，F(x)0 恒成立，故 F(x)在(0，)上单调递增，当 x0 恒成立，故 F(x)在(，0)上单调递增，F(x)在 R 上单调递增，无极值点.【高分训练】当 x1 时，h(x)0，h(x)单调递增；当 0 x1 时，h(x)x0，则 f(f(x0)f(x0)x0 与条件不符，所以 f(x0)x0不成立；若 f(x0)x0，则 f(f(x0)f(x0)x0 与条件不符，所以 f(x0)0 是 f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件.三点注意：(1)求函数的单调区间时，先确定函数的定义域；(2)f(x0)0 时，x0 不一定是极值点；(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值在给定闭区间内只有一个，极值只能在区间内某一点处取得，最值可以在区间端点处取得，函数有极值未必有最值，反之，有最值也未有极值，极值可能也是最值.