1、6.6 不等式的应用巩固夯实基础 一、自主梳理 1.运用均值不等式求最值最常见的有两类： (1)已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值. 公式：a+b2，公式中条件是a、bR+;积ab为定值;a=b时取等号. (2)已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值. 公式：ab()2,上述公式中等号成立的条件是a=b. 2.某些函数单调性的判断往往渗透着不等式性质的应用，而单调性定义证明函数单调性也就是证明不等式. 3.求函数定义域，往往直接归结为解不等式或不等式组；求函数值域的常用方法是：(1)用均值不等式；(2)利用单调性；(3)配方法；(4)换元法. 4.三角、数列、立体几何和解析几何
2、中的最大最小值问题，都与不等式有密切关系；高考中的应用问题，多数可归结为不等式问题，这些问题大致分为两类：一类是建立不等式，解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.函数求最值的常见途径有：(1)利用几何意义；(2)利用判别式；(3)利用变量的有界性；(4)建立函数单调性；(5)利用均值不等式等. 二、点击双基1.(理)函数y=(x-1)的图象最低点坐标是( )A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)解析：y=(x+1)+2.此时x=0.答案：D(文)已知abc0,若P=,Q=,则（ ）A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ解析：特殊值检验.a=3,b=2,c=1.
3、P=,Q=1,P0和ad0,y0,5=x+y2, xy()2. 当且仅当x=y=时等号成立. 故lgx+lgy=lgxylg()2=2-4lg2.答案：2-4lg2诱思实例点拨【例1】 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求ACB=60，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：设BC=a(a1),AB=c,AC=b,b-c=. c2=a2+b2-2abcos60, 将c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-. a1,a-10. b=(a-1)+2
4、+2. 当且仅当a-1=时，取“=”,即a=1+时,b有最小值2+.【例2】 函数y=的最大值为4,最小值为-1,求常数a、b的值.剖析：由于函数是分式函数,且定义域为R,故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得 yx2-2ax+y-b=0. 对于,有实根的条件是0, 即(-2a)2-4y(y-b)0. y2-by-a20. 又-1y4, y2-by-a2=0的两根为-1和4. 解得或讲评：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.链接拓展 已知x、yR+且+=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）. 由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a、b是正常数，a+b=10,又x、yR+, 且+=1，x+y的最小值为18.求a、b的值. 略解: x+y=(x+y)(+)=10+10+2=18. 当且仅当=时取等号. 由解得 当x=6,y=12时，x+y的最小值为18. 同上题,x+y=(x+y)(+)=a+b+a+b+2. 由得或【例3】 (1)已知a、b是正常数，ab,x、y(0,+),求证：+,并指出等号成立的条件;(2)利用(1)的结论求函数f(x)=+x(0,)的最小值，并指出取最小值时x的值.(1)证明：+- = = =0. +,当且仅当ay=bx时取等号. (2)解：f(x)=+ =+ =25. 当且仅当2(1-2x)=32x,即x=时取等号.
