1、32函数的基本性质32.1函数的单调性与最值最新课程标准学科核心素养1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性2理解单调性的作用和实际意义1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义(数学抽象)2能用单调性的定义证明函数的单调性(逻辑推理)3会利用函数的单调性求函数的最大(小)值(数学运算)教材要点要点一函数最大(小)值设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集(1)如果有aD，使得不等式f(x)f(a)对一切xD成立，就说f(x)在xa处取到最大值Mf(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点；(2)如果有aD，使得不等式f(x)f(a)对一切xD成
2、立，就说f(x)在xa处取到最小值Mf(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最大值是0，有f(0)0.要点二增函数与减函数的定义状元随笔定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间要点三单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)_，区间I叫作yf(x)的_状元随笔一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时
3、，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数y1x在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y1x在(，0)0，+上单调递减基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数f(x)1恒成立，则f(x)的最大值是1.()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数y1x的单调递减区间是(，0)0，+.()(4)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在区间a，c上在xb处有最小值f(b)()2函数y2x23x的单调递减区间是()A0，) B(，0)C，34D34，+3(多选)如果函数f(x)在a，b
4、上是增函数，对于任意x1，x2a，b(x1x2)，则下列结论中正确的是()Afx1fx2x1x20B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)f(b)Df(x1)f(x2)4函数f(x)在2，2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_题型1利用图象求函数的单调区间例1已知函数f(x)x24|x|3，xR.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间方法归纳(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象
5、写出其单调区间(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接跟踪训练1(1)已知函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A(3，1)1，4B(5，3)1，1C(3，1)，(1，4)D(5，3)，(1，1)(2)函数yx22|x|3的单调递增区间是_，递减区间是_题型2函数的单调性判断与证明例2用定义证明函数f(x)xkx(k0)在(0，)上的单调性方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键跟踪训练2已知函数f(x)xx2+4，判断并用定义证明f(x)在(0，)上的单调性题型3函数单调性的应用角度1比较大小例3已知函
6、数yf(x)在0，)上是减函数，则()Af34f(a2a1) Bf34f(a2a1)Cf34f(a2a1) Df34f(a2a1)状元随笔利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上角度2解不等式例4f(x)是定义在(2，2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)，则实数m的取值范围是()Am0B0m32C1m3D12m32状元随笔利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内角度3利用函数的单调性求参数的取值范围例5若f(x)x24mx与g(x)2mx+1在区间2，4上都是
7、减函数，则m的取值范围是()A(，0)0，1 B.1，00，1C(0，) D(0，1方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义角度4求函数的最值例6已知函数f(x)2x1(x2，6)，求函数的最大值和最小值方法归纳1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是
8、增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个跟踪训练3(1)已知函数f(x)x2bxc图象的对称轴为直线x2，则下列关系式正确的是()Af(1)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(1) Df(1)f(1)f(2)(2)函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)3，+(
9、3)已知函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_(4)已知函数f(x)32x1，求函数f(x)在1，5上的最值易错辨析忽视函数的定义例7已知函数f(x)x2ax5x1，axx1，是R上的增函数，则a的取值范围是()A3a0Ba2Ca0D3a2解析：函数f(x)x2ax5x1，axx1，是R上的增函数，则f(x)x2ax5(x1)单调递增，故它的对称轴a21，即a2，此时f(x)ax(x1)也单调递增，所以a0，要保证在R上是增函数还需在x1处满足12a15a1，即a3.综上所述，3a2.答案：D易错警示易错原因纠错心得只考虑f(x)x2ax5(x1)单调递增与f(x)ax(x
10、1)单调递增，即a21a0a2，忽视增函数的定义出错分段函数如果都能单调递增还需保证断点左侧的值小于或等于右侧的值本题中：12a15a1.课堂十分钟1(多选)如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1，4上单调递增C函数在区间3，14，5上单调递减D函数在区间5，5上没有单调性2函数y1x1的单调减区间是()A(，1)，(1，) B(，1)1，+CxR|x1DR3函数y2x+1在2，3上的最小值为()A1B13C23D124设关于x的函数y(k2)x1是R上的增函数，则实数k的取值范围是_5已知f(x
11、)是定义在1，1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围32函数的基本性质32.1函数的单调性与最值新知初探课前预习要点二f(x1)f(x2)增函数减函数要点三单调性单调区间基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：借助图象得y2x23x的单调减区间是34，+.答案：D3解析：由函数单调性的定义可知，若函数yf(x)在给定的区间上是增函数，则x1x2与f(x1)f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确故选AB.答案：AB4解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(2，1)是
12、最低点，ymax2，ymin1.答案：1，2题型探究课堂解透例1解析：(1)f(x)x24|x|3x24x+3，x0，x2+4x+3，x0.(2)如图(3)由图象可知单调递增区间为2，0)，2，)，单调递减区间为(，2)，0，2)跟踪训练1解析：(1)在某个区间上，若函数yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1，4)(2)yx22|x|3x2+2x+3，x0，x22x+3，x0.画出函数图象如图，由图可知函数yx22|x|3的单调递增区间是：(，1，(0，1.递减区间是：1，0，1，)答案：(1)C(2)(，1，(0，11，0
13、，1，)例2证明：设x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1+kx1x2+kx2(x1x2)kx1kx2(x1x2)kx2x1x1x2(x1x2)kx1x2x1x2(x1x2)x1x2kx1x2，因为0x1x2，所以x1x20.当x1，x2(0，k时，x1x2k0，此时函数f(x)为减函数；当x1，x2(k，)时，x1x2k0f(x1)f(x2)0)在区间(0，k上为减函数，在区间(k，)上为增函数跟踪训练2解析：f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减证明如下：x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2)x1x12+4x2x22+4x1x22+4x2x
14、12+4x12+4x22+4x2x1x1x24x12+4x22+4，因为0x10，(x12+4)(x224)0.当x2时，x1x240，x2x1x1x24x12+4x22+40，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时f(x)单调递减当0x2时，x1x240，x2x1x1x24x12+4x22+40，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时f(x)单调递增所以，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减例3解析：a2a1a1223434.又函数yf(x)在0，)是减函数，f(a2a1)f34.故选C.答案：C例4解析：由题意知2m12，22m12，m12m1，
15、解得0m0，解得m0.综上可得m的取值范围是(0，1.故选D.答案：D例6解析：x1，x22，6，且x1x2，则f(x1)f(x2)2x112x212x21x11x11x212x2x1x11x21.由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)2x1在区间2，6上单调递减因此，函数f(x)2x1在区间2，6的两个端点处分别取得最大值与最小值在x2时取得最大值，最大值是2；在x6时取得最小值，最小值是0.4.跟踪训练3解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x2，所以f(x)在(，2上单调递减，因为211，所以f(2)f(1
16、)f(m9)，所以2mm9，即m3.故选C.(3)f(x)|2xa|2xa，xa22x+a，xx112，f(x1)f(x2)32x1132x216x2x12x112x21.由于x2x112，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)32x1在区间12，+上是单调递减的，所以函数f(x)在1，5上是单调递减的，因此，函数f(x)32x1在区间1，5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5)13.答案：(1)C(2)C(3)6(4)见解析课堂十分钟1解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“”连接故选ABD.答案：ABD2解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当故选A.答案：A3解析：函数y2x+1在2，3上单调递减，当x3时，y2x+1有最小值12.故选D.答案：D4解析：f(x)为R上的增函数，则k20，k2.答案：(2，)5解析：f(x)是定义在1，1上的增函数，且f(x2)f(1x)，1x21，11x1，x21x，解得1x32，所以x的取值范围为1x32.