1、跟踪强化训练(二十一)一、选择题1(2017贵阳一中适应性考试)已知l为平面内的一条直线，表示两个不同的平面，则“”是“l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若l为平面内的一条直线且l，则，反过来则不一定成立，所以“”是“l”的必要不充分条件，故选B.答案B2(2017福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线l，使得la，且lbB存在唯一直线l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a，且b解析过直线a上一点，作b的平行线c，则直线a，c确定一个平面，易证垂直于该平面的直线同时垂直
2、于直线a和b，由于这样的直线有无数条，故A错误 ；由空间两直线夹角的定义易证，若la且lb，则ba，故B错；过直线a上一点作b的平行线n，记a，n确定的平面为a，显然b，即存在性成立，假设存在平面，使得a，a，且b，b，则a，所以ba，与题意矛盾，故唯一性成立，故C正确；假设存在平面，使得a，且b，则ba，与题意矛盾，故D错误 .答案C3(2017宁波统考)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析因为m，lm，l，所以l.同理可得l.又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选D.
3、答案D4已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为()若a，b，l，abl，则；若，且l，则l；若a，b，a，la，lb，则l；若a，b为异面直线，a，b，la，lb，l，l，则与相交，且交线平行于l.A BC D解析对于，a，b，l就相当于平面，的法线，因为abl，所以，所以正确；显然是正确的；对于，若ab，由线面垂直的判定定理可知，直线l不一定垂直于，只有当a与b相交时，l，所以不正确；对于，由a，la，且l，得l.又b，lb，l，所以l.由直线a，b为异面直线，且a，b，得与相交，否则ab，与a，b异面矛盾，故与相交，且交线平行于l
4、，所以正确答案A5(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析因为过点A的平面与平面CB1D1平行，平面ABCD平面A1B1C1D1，所以mB1D1BD，又A1B平面CB1D1，所以nA1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，选A.答案A6(2017温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将ADE沿AE翻折成SAE，使得平面SAE平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()存在点E使得直线SA平面SBC；平面SBC
5、内存在直线与SA平行；平面ABCE内存在直线与平面SAE平行A0 B1 C2 D3解析由题图，得SASE，若存在点E使得直线SA平面SBC，则SASB，SASC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故正确选B.答案B二、填空题7(2017定州二模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则EF_.解析根据题意，因为EF平面AB1
6、C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点因为在RtDEF中，DEDF1，故EF.答案8(2017云南省11校高三调研)已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确命题的序号是_解析对于，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此不正确对于，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知正确对于，分别与两条平行直线平行的两个平
7、面未必平行，因此不正确对于，由n得，在平面内必存在直线n1平行于直线n；由m，得m，mn1；又n1n，因此有mn，正确综上所述，所有正确命题的序号是.答案9(2017运城一模)在ABC中，C90，B30，AC1，M为AB的中点，将BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为，则点M到平面ABC的距离为_解析在平面图形中，由已知得AB2，AMBMMC1，BC，AMC为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，则ADCM，设AD的延长线交BC于E，则AD，DE，CE.根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC2AC2AB2，知BAC90，又cosECA，连接AE，则AE2CA2CE22CACEcosECA，于
8、是AC2AE2CE2，AEC90，AEBC.AD2AE2ED2，AEDE，又BC，DE平面BCM，BCDEE，AE平面BCM，即AE是三棱锥ABCM的高，设点M到平面ABC的距离为h，SBCM，AE，所以由VABCMVMABC，可得1h，h.答案三、解答题10(2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面B
9、CD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.11(2017南昌摸底)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值解(1)证明：由题意，tanABD，tanAB1B，由图可知0ABD，AB1B，所以ABDAB1B，所以ABDBAB1AB1BBAB1，所以
10、AB1BD，又CO侧面ABB1A1，AB1CO.又BD与CO交于点O，所以AB1平面CBD，又因为BC平面CBD，所以BCAB1.(2)如图，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，B1，D，又因为2，所以C1.所以，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则根据可得令x1，则y，z，所以n(1，)是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为，则sin.12(2017贵州省贵阳市高三监测)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面P
11、AD平面ABFE；(2)若正四棱锥PABCD的高为1，求二面角CAFP的余弦值解(1)证明：直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，ABAD，又ADAF，ABAFA，AD平面ABFE，AD平面PAD，平面PAD平面ABFE.(2)ADBC，AD平面ABFE，BC平面ABFE，且ABBF，建立以B为坐标原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示正四棱锥PABCD的高为1，AEAD2，A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，1,1)，(2,2,0)，(0,2，2)，(1,1，1)，设n1(x1,1，z1)是平面ACF的一个法向量，则n1，n1，即解得x11，z11，即n1(1,1,1)设n2(x2,1，z2)是平面PAF的一个法向量，则n2，n2，即解得x21，z22，即n2(1,1,2)cosn1，n2，又二面角CAFP是锐角，二面角CAFP的余弦值是.