1、2.1向量的实际背景及基本概念（学案）一、学习目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、自主学习 1向量的概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小2向量的几何表示(1)有向线段：带有_的线段叫做有向线段，其方向是由_指向_，以A为起点、B 为终点的有向线段记作.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向、长度
2、，它的终点就唯一确定(2)向量的有关概念：向量的_，也就是向量的长度(或称模)，记作|.长度为_的向量叫做零向量，记作0.长度等于_个单位的向量，叫做单位向量(3)向量的表示法：几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向；字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的_和_的字母表示(4)平行向量：方向_或_的非零向量叫做平行向量向量a与b平行，通常记为ab.规定零向量与任何向量都_，即对于任意向量a，都有0a.3相等向量与共线向量(1)相等向量：_相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，通常记为ab.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并
3、且与有向线段的起点无关在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一_上，因此，平行向量也叫共线向量三、合作探究 知识点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由若ab，则a一定不与b共线；若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若向量a与任一向量b平行，则a0；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.回顾归纳：对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可知识点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达
4、B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、； (2)求|.回顾归纳：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点知识点三相等向量与共线向量例3如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量回顾归纳：(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线四、学以致用 练习1.判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|
5、b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|b|，且a与b的方向相同，则ab；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反练习2.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？练习3.如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，(1)写出与相等的向量：_.(2)写出与共线的向量：_.五、自主小测1下列说法正确的有()方向相同的向量叫相等向量；零向量的长度为0；共线向量是在同一条直线上的向量；零向量是没有方
6、向的向量；共线向量不一定相等；平行向量方向相同A2个 B3个 C4个 D5个2下列命题正确的是()A若|a|b|，则ab或abB向量的模一定是正数C起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上3下列四个命题若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab，或ab；若ab，则|a|b|；若a0，则a0.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D44下列命题正确的是( )Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行5在四
7、边形ABCD中，且|，则四边形为_6给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位向量其中能使ab成立的是_7下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形把所有单位向量移到同一起点；把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；把平行于某一直线的一切向量移到同一起点_；_；_.8. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量 参考答案1A与正确，其余都是错误的2CA错误由|a|b|仅说明a与b模
8、相等，但不能说明它们方向的关系B错误.0的模|0|0.C正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的D错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上，即A、B、C、D四点不一定共线3B错，正确4C若b0，则a与c不共线，A不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，B不正确；若a，b中有一个是零向量，则a与b一定共线，C正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，D不正确5菱形解析，AB綊DC四边形ABCD是平行四边形，|，四边形ABCD是菱形6解析相等向量一定是共线向量，能使ab；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使ab；零向量与任一向量平行，能使ab.7单位圆相距为2个单位的两个点一条直线8解(1)与a的模相等的向量有23个(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，.(3)与a共线的向量有，.(4)与a相等的向量有，；与b相等的向量有，；与c相等的向量有，.