1、平面向量【专题要点】向量的概念、向量的表示方法、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、向量的加法和减法（向量的加法减法运算法则、坐标运算等）、实数与向量的积、向量共线定理、平面向量基本定理、向量的数量积（向量的定义、几何意义、运算律，相关公式结论等）、两向量平行、垂直的充要条件高考资源网【考纲要求】高考资源网1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示。高考资源网 2.掌握向量的加法和减法运算，并理解其几何意义，掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义高考资源网3.了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用
2、坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算。高考资源网4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量的数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系5.会用向量法解决简单的平面几何问题。高考资源网【知识纵横】【教法指引】本专题内容为每年高考必考内容，以选择题（填空题）+解答题的形式出现，分值在16-17分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，对平面向量的考查主要其中在：（1）平面向
3、量的性质和运算法则（2）向量的坐标表示，向量的线性运算（3）和其他数学知识结合在一起考查，如和曲线、数列等知识结合。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解平面向量的相关知识，通过认识整个体系知识点，掌握本专题的内容，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练高考资源网【典例精析】例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在
4、直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B高考资源网点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。高考资源网例2、已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 高考资源网解：方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(,-)方法二与向量b= (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，高考资源网故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。注 ：向量的概念较多，且容易
5、混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念高考资源网与a平行的单位向量e=高考资源网例3、已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60, x=2ab，y=3ba,则x与y的夹角是多少？分析：要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值。计算时要注意计算的准确性。解： 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=。要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值。高考资源网|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，高考资源网|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96
6、+1=7. 高考资源网xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=coscos=，=arccos。即x与y的夹角是arccos高考资源网注：本题利用模的性质|a| 2=a2在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60。由向量减法的几何意义，得=2ab。由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.高考资源网例4、(2008湖南理)设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不
7、垂直解：由定比分点的向量式得:同理，有：以上三式相加得高考资源网所以选A. 高考资源网点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点. 高考资源网例5已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4. 高考资源网（1）求点P(x,y)的轨迹C的方程. 高考资源网（2）如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值高考资源网解：(1) =, |=,且|+|=4. 高考资源网点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为高考资源网(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y
8、=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =高考资源网因此，高考资源网当时，即m=时，高考资源网题设变式1 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|-|=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)题设变式2 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=|.求点P(x,y)的轨迹C的方程. 高考资源网提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -为准线抛物线例6.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果 分别是公
9、比q=2的等比数列的第三、第四项. 高考资源网（1）求动点P的轨迹C的方程；高考资源网 （2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围. 高考资源网解：（1）设P(x，y)，则H(0，y)， 又因为所以有高考资源网所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x0). （2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3). 高考资源网 化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0. 高考资源网 所以高考资源网所以DQ的方程为 令y=0，得高考资源网 又由高考资
10、源网 可得k2，由题意可知k1，所以1，所以-()2+1， 所以2x02+.故所求的x0的取值范围为(2，2+).高考资源网题后反思若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？高考资源网当0q1时，点P的轨迹为椭圆例7.已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的大小相等(kR且k0)，求（1）证法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）高考资源网a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)(a-b)=（cos+cos，sin+ sin）（cos-cos，sin
11、- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)证法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1(a+b)(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)证法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,记a，b，则|=1,又，O、A、B三点不共线。高考资源网由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b) 高考资源网（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(k
12、sin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(),2kcos()= -2kcos() 高考资源网又k0cos()0高考资源网00, =高考资源网注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明高考资源网例8.将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y=2x2+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式解法一 设平移向量a=(h,k)，则将
13、y=2x2按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(xh)2+k。高考资源网设M(m,n)和M(m,n)是y=2x2+4x+2与y=2(xh)2+k的两个交点，则：解得：或点（1，4）和点（1，4）在函数y=2(xh)2+k的图像上故所求解析式为：y=2(x+1)24，即y=2x2+4x2高考资源网解法二 将y=2x2按向量a=(h,k)平移，设P（x,y）为y=2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P(x,y)，则故高考资源网yk=2(xh)2是平移之后的函数图像解析式。高考资源网由消去y得：4x24(h+1)x+2h2+k2=0又两交点关于原点对称x1+x2=0,即=0,h=1又y1+y2=
14、0,2x124hx1+2+k+2x224hx2+2+k=0高考资源网2(x12+x22)+4(x1+x2)=42k2(x1+x2)2+4(x1+x2)4x1x1=42k高考资源网x1x2=，4=42k,k=4y=2(x+1)24,即y=2x2+4x2注：定比分点和向量平移是向量中的两个重要内容，通过它们可以和平面解析几何、函数图像等其它章节辞知识相联系，成为知识的交汇点。在处理这类问题中，最关键的是“顺序”（定比分点中，要分清起点和终点；图像平移中，要分清哪一个到哪一个，然后结合公式解题）。由平移公式可知，平移前的函数解析式y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的函数解析式是y=f(x-h
15、)+k例9（2000年北京春季高考题）设点A和B为抛物线y2=4x上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。分析：本题解法很多，而构造向量解之，思路清晰，运算简捷，提高了解题速度，拓展了学生的思维空间，为学生今后解决解析几何问题又提供一种新思路解：设M(x, y)，A(4, 4t1)，B(4, 4t2)，其中x0，t1t20且t1t2=(4, 4t1)，=(4, 4t2)，=(x, y)，=(4(), 4(t2t1)，444t14t2=0，由t1t20，可知t1t2=1 ，x4()y4(t2t1)=0，由t1t2，可知 t1t2= 高考资源网又A、B、M三点共线，/，高考资源网而=(x4, y4t1)，=( x4, y4t2)，由向量共线的充要条件，可知 (x4)( y4t2)=( y4t1)( y4t)，化简，得x(t1t2)y4t1t2=0 将、代入式，可得点M的轨迹方程为(x2)2y2=4 (x0)，它表示与y轴切于原点的一个圆（不包括原点）高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
