1、3.2.1直线的点斜式方程三维目标1知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系2过程与方法(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程(2)学生通过对比，理解“截距”与“距离”的区别3情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题重点难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程难点：直线的点斜式方程
2、和斜截式方程的应用重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点教学建议 解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程恰恰体现了这种思想由于直线的点斜式方程是推导其他直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法鉴于学生在
3、“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方程的适用条件对于斜截式方程，明确以下三点：(1)它是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清“截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多由于点斜式方程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想教学流程创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？ 课标解读1.了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)直线的点
4、斜式方程【问题导思】1已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？【提示】yy0k(xx0)2经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线l如何表示？【提示】xx0.方程yy0k(xx0)由直线上一定点P0(x0，y0)及斜率k确定，我们把这个方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式，适用于斜率存在的直线直线的斜截式方程【问题导思】经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？【提示】ykxb.1直线l在y轴上的截距直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线在y轴上的截距2直线的斜截式方程方程ykxb由直线的斜率
5、k和它在y轴上的截距b确定，我们称这个方程为直线的斜截式方程，简称为斜截式适用范围是斜率存在的直线.直线的点斜式方程根据下列条件，求直线的方程(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45；(3)经过点C(1，1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直【思路探究】注意斜率是否存在若存在，方程为yy0k(xx0)；若不存在，方程为xx0.【自主解答】(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y54(x2)，即4xy30.(2)直线的倾斜角为45，此直线的斜率ktan 451，直线的点斜式方程为y3x2，即xy10.(3)直线与x轴平行，倾斜角为0，斜率k0，
6、直线方程为y10(x1)，即y1.(4)直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x1. 求直线的点斜式方程，步骤如下：根据条件写出下列各题中的直线方程(1)经过点A(1,2)，斜率为2；(2)经过点B(1,4)，倾斜角为135；(3)经过点C(4,2)，倾斜角为90；(4)经过坐标原点，倾斜角为60.【解】(1)由直线方程的点斜式可得，所求直线的方程为y22(x1)，即2xy0.(2)由题意可知，直线的斜率ktan 1351，所以直线的点斜式方程为y4(x1)，即xy30.(3)由题意可知，直线的斜率不存在，且直线经过点C(4
7、,2)，所以直线的方程为x4.(4)由题意可知，直线的斜率ktan 60，所以直线的点斜式方程为yx.直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【思路探究】【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150.由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.1本题(3)在求解过程中，
8、常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“yx3”2截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零直线l与直线l1：y2x6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程【解】由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y2x6.平行与垂直的应用当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2(1)平行？(2)垂直？【思路探究】已知两直线的方程，且方程中含有参数，可利用l1l2k1k2且b1b2，；l1l2k1k21求解【自主解答】(1)要使l1l2，则
9、需满足解得a1.故当a1时，直线l1与直线l2平行(2)要使l1l2，则需满足(a22)(1)1，a.故当a时，直线l1与直线l2垂直已知直线l1：yk1xb1与直线l2：yk2xb2.(1)若l1l2，则k1k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1b2；反之k1k2且b1b2时，l1l2.所以有l1l2k1k2且b1b2.(2)若l1l2，则k1k21；反之k1k21时，l1l2.所以有l1l2k1k21.(1)已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_；(2)若直线l1yx与直线l2y3x1互相平行，则a_.【解析】(1)由题意可知a(a2)1，解得a1.(2)由题意可知解得a.【答
10、案】(1)1(2)误把“截距”当“距离”致误已知斜率为的直线l，与两坐标轴围成的三角形面积为6，求l的方程【错解】设l：yxb，令x0得yb；令y0得xb，由题意得b(b)6，b0，b4，直线l的方程为yx4.【错因分析】上述解法的错误主要在于“误把直线在两轴上的截距当作距离”【防范措施】直线在两轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是距离，因此本题在先求得截距后，应对截距取绝对值再建立面积表达式【正解】设l：yxb，令x0得yb；令y0得xb，由题意得|b|b|6，b216，b4.故直线l的方程为yx4.1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有
11、k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程1直线的点斜式方程yy0k(xx0)可以表示()A任何一条直线B不过原点的直线C不与坐标轴垂直的直线 D不与x轴垂直的直线【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直
12、线【答案】D2直线l过点A(1,2)，斜率为3，则直线l的点斜式方程为()Ay13(x2) By23(x1)Cy23(x1) Dy23(x1)【解析】过点(x0，y0)，斜率为k的直线的点斜式方程为yy0k(xx0)【答案】D3已知直线l的点斜式方程为y1x1，那么直线l的斜率为_，倾斜角为_，在y轴上的截距为_【解析】直线y1x1的斜率为1，由tan 451可知，倾斜角为45；令x0得y0，故在y轴上的截距为0.【答案】14504(1)求经过点(1,1)且与直线y2x7平行的直线方程；(2)求经过点(1,1)且与直线y2x7垂直的直线方程【解】(1)由y2x7得其斜率k12，所求直线与已知直
13、线平行，设其斜率为k2，k2k12，所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)由y2x7得其斜率k12，所求直线与已知直线垂直，设其斜率为k2，k1k21，k2，所求直线为y1(x1)，即x2y30.一、选择题1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(1,2)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(1，2)，斜率为1【解析】结合直线的点斜式方程yy0k(xx0)得C选项正确【答案】C2已知两条直线yax2和y(2a)x1互相平行，则a等于()A2B1C0D1【解析】由a2a，得a1.【答案】B3下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜
14、截式方程是()Ax3 By5C2yx Dx4y1【解析】直线方程的斜截式ykxb，等号左边为y，其系数为1，右边x的系数为斜率k，b为直线在y轴上的截距，当k0，b5时，即为y5，即B项的方程可看成直线的斜截式方程【答案】B4(2013临沂高一检测)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】直线x2y20的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y(x1)，即x2y10.【答案】A5与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()Ayx4 By2x4Cy2x4 Dyx4【解析】直线
15、y2x1的斜率为2，与其垂直的直线的斜率是，直线的斜截式方程为yx4，故选D.【答案】D二、填空题6经过点(1,0)且与x轴垂直的直线方程为_【解析】如图，所求直线的方程为x1.【答案】x17斜率与直线yx的斜率相等，且过点(4,3)的直线的点斜式方程是_【解析】直线yx的斜率为，又所求直线过点(4,3)，故由点斜式得y3(x4)【答案】y3(x4)8(2013浏阳高一检测)已知直线l的倾斜角为120，在y轴上的截距为2，则直线l的斜截式方程为_【解析】由题意可知直线l的斜率ktan 120，又l在y轴上的截距为2，故l的斜截式方程为yx2.【答案】yx2三、解答题9求倾斜角是直线yx1的倾斜
16、角的，且分别满足下列条件的直线方程(1)经过点(，1)；(2)在y轴上的截距是5.【解】直线yx1的斜率k，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30，(1)所求直线经过点(，1)，斜率为，所求直线方程是y1(x)(2)所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5.10当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3(1)平行？(2)垂直？【解】由题意可知，kl12a1，kl24.(1)若l1l2，则kl1kl2，即2a14，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3平行(2)若l1l2，则4(2a1)1
17、，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直11已知直线l的斜率为1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程【解】设直线l的方程为yxb，O为坐标原点，则它与两个坐标轴的交点为A(b,0)和B(0，b)，所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b|，故其面积为b2，由b2，解得b1，所求直线的方程为yx1或yx1.已知直线l经过点P(1，2)，在y轴上的截距的取值范围为2,6，求此直线斜率的取值范围【思路探究】解答本题可先写出点斜式方程，再化为斜截式方程，求出直线在y轴上的截距，最后解不等式求斜率的取值范围也可设出直线l的斜截式方程，再将点P坐标代入，找到
18、斜率与在y轴上截距的关系，从而求出斜率的范围【自主解答】法一：设直线l的斜率为k，由于这条直线过点P(1，2)，它的点斜式方程是y(2)kx(1)，可化为斜截式方程是ykxk2，直线l在y轴上的截距为k2.由已知得2k26，4k8.直线l斜率的取值范围为4,8法二：设直线l的斜截式方程为ykxb，由于点P(1，2)在直线l上，2k(1)b，即kb2.又b2,6，所以k4,8直线l的斜率的取值范围为4,81点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)(xx0除外)的所有直线2斜截式方程ykxb可表示斜率为k的所有直线3待定系数法在求直线方程问题中应用很广已知直线过定点设点斜式，已知斜率或在y轴上的截距设斜截式是常见的方法已知直线l过点P(2,0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程【解】设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得|2|b|10，b10.当b10时，直线过点(2,0)，(0,10)，斜率k5.直线的斜截式方程为y5x10.当b10时，直线过点(2,0)，(0，10)，斜率k5.直线的斜截式方程为y5x10.综合可知直线l的方程为y5x10或y5x10.
