1、 基础过关 1.设 aR,函数 f(x)=lnx-ax.(1)讨论函数 f(x)的单调性并求极值;(2)已知 x1=e(e 是自然对数的底数)和 x2 是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值,并证明 x2e32.2.已知函数 f(x)=axex-lnx+b 的图像在点(1,f(1)处的切线方程为 y=(2e-1)x-e.(1)求 a,b 的值;(2)若 f(x)mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.3.已知函数 f(x)=x2-x+klnx,k0.(1)若函数 f(x)的图像在点(1,f(1)处的切线的斜率为 2,求 k 的值;(2)讨论函数 f(x)的单调性;(3)若函数 f(x)有
2、两个不同的极值点 x1,x2,证明:|f(x1)-f(x2)|x1),求 f(x2)-f(x1)的最大值.6.已知函数 f(x)=ax-ln(2x+1),g(x)=ex-x-1,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在原点处的切线相同.(1)求 f(x)的单调区间和极值;(2)当 x0 时,若 g(x)kf(x)恒成立,求实数 k 的取值范围.7.已知函数 f(x)=alnx-x+1(aR).(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)求证:当 nN*时,ln(n+1)e-1+e-2.限时集训(四)1.解:(1)由已知得 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-a=1-.若 a0,则 f(x)0,
3、f(x)在区间(0,+)上单调递增,无极值;若 a0,则令 f(x)=0,得 x=1,在区间 0,1 上,f(x)0,函数 f(x)单调递增,在区间1,+上,f(x)0 时,函数 f(x)在 0,1 上单调递增,在1,+上单调递减,函数 f(x)的极大值为 f1=-lna-1,无极小值.(2)因为 f(e)=0,所以12-ae=0,解得 a=12e.因为 f(x)=lnx-12ex,所以 f(e32)=32-e20,f(e52)=52-e22 0,所以 f(e32)f(e52)0.由(1)知,函数 f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+)上单调递减,因为函数 f(x)有两个不同的零点
4、x1,x2,且函数 f(x)在区间(e32,e52)上有唯一零点,x1e32.2.解:(1)f(x)=aex+axex-1.函数 f(x)=axex-lnx+b 的图像在点(1,f(1)处的切线方程为 y=(2e-1)x-e,(1)=e+=e-1,(1)=2e-1=2e-1,解得=1,=-1.(2)由 f(x)mx 得 xex-lnx-1mx,即 me-ln-1.令(x)=e-ln-1,则(x)=2e+ln2.令 h(x)=x2ex+lnx,易知 h(x)在(0,+)上单调递增,又 h1e=1e2 e1e-10,故 h(x)在1e,1 上存在零点 x0,即 h(x0)=02e0+lnx0=0,
5、即 x0e0=-ln00=ln 10 eln 10.y=xex 在(0,+)上单调递增,x0=ln 10=-lnx0,即e0=10.易知(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,(x)min=(x0)=1+0-10=1,m1,故实数 m 的取值范围是(-,1.3.解:(1)f(x)=2x-1+(x0),由题意知 f(1)=1+k=2,k=1.(2)令 f(x)=2x-1+=0,可得 2x2-x+k=0,=1-8k.当 k18时,0,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增.当 0k0,设 x1,x2 是方程 2x2-x+k=0 的两个根,则 x1x2=20,x1+x2=120
6、,故 x10,x20.不妨设 x1x2,则 x1=1+1-84,x2=1-1-84,故 f(x)在 0,1-1-84,1+1-84,+上单调递增,在1-1-84,1+1-84上单调递减.(3)证明:由(2)可知,0kf(x1),f(x1)-f(x2)=12-22-(x1-x2)+kln12=(x1-x2)(x1+x2-1)+kln12=-1-84+kln1+1-81-1-8=-1-84+kln(1+1-8)-ln(1-1-8).令 t=1-8(0,1),则14-2k=1-84=14t2,故只需证明4+kln(1-t)-ln(1+t)24,设 g(t)=24-4-kln(1-t)-ln(1+t)
7、,0t0.g(t)=2-14-k-11-11+=2-14+21-2,1-t2=1-(1-8k)=8k,g(t)=20,g(t)在(0,1)上单调递增,g(t)g(0)=0,原不等式得证.4.解:(1)f(x)=ex+a.当 a0 时,f(x)=ex+a0,所以 f(x)在 R 上单调递增;当 a0,得 xln(-a),由 f(x)=ex+a0,得 x0 时,m(x)0,当 x0 时,m(x)0,当 a(-2,0)时,F(x)=ex+a+1x+1+a+1=x+1+1+a2 1+1+a=a+30,两个不等号不能同时取到等号,所以函数 F(x)在区间(0,+)上单调递增.因为 F1e=e1e+e-2
8、e12-2e2-2e0,所以 F(x)只有一个零点.5.解:(1)f(x)=2+x-a=2-+2(x0),令 x2-ax+2=0,则=a2-8.当 a0 或 0,即 a22时,f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增.当 0,0,即 a22时,由 f(x)0,得 0 x+2-82,由 f(x)0,得-2-82x22时,f(x)在 0,-2-82和+2-82,+上单调递增,在-2-82,+2-82上单调递减.(2)由(1)得 x1,x2 为 x2-ax+2=0 的两个根,x1+x2=a,x1x2=2,f(x2)-f(x1)=2ln21+12(22-12)-a(x2-x1)=2ln21-
9、22-122=2ln21-22-1212=2ln21-21+12.令 t=21(t1),h(t)=2lnt-t+1,由 a3 得22=(1+2)212=t+1+292,故 2t2-5t+20,可得 t2.h(t)=2-1-12=-2+2-12=-(-1)22-12,g(x)=ex-1,依题意得 f(0)=g(0),即 a-2=1-1,解得 a=2,所以 f(x)=2-22+1=42+1 x-12.当-12x0 时,f(x)0 时,f(x)0.故 f(x)的单调递减区间为-12,0,单调递增区间为(0,+).f(x)的极小值为 f(0)=0,无极大值.(2)当 x0 时,令 h(x)=g(x)-
10、kf(x)=ex-x-1-2kx+kln(2x+1),则 h(x)=ex-1-k 2-22+1=(2+1)e-4-2-12+1.令 H(x)=(2x+1)ex-4kx-2x-1,则 H(x)=(2x+3)ex-4k-2.当 x0 时,(2x+3)ex3,令 4k+2=3,得 k=14.当 k14时,H(x)0,所以 H(x)在0,+)上单调递增,从而 H(x)H(0)=0,可知 h(x)在0,+)上单调递增,故h(x)h(0)=0,于是 g(x)kf(x)成立.当 k14时,令 m(x)=H(x),则 m(x)=(2x+5)ex0,所以 H(x)在0,+)上单调递增,又 H(0)=1-4k0,
11、当 x+时,H(x)+,所以存在 x0(0,+),使得 H(x0)=0,所以 H(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以当 x(0,x0)时,H(x)H(0)=0,h(x)单调递减,此时 h(x)0),令 x2-ax+1=0,则=a2-4.当 0,即-2a2 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减.当 a2 时,方程 x2-ax+1=0 有两个实根,即 x1=-2-42,x2=+2-42,且 0 x1x2,当 0 xx2 时,f(x)0,f(x)单调递减,当 x1x0,f(x)单调递增.当 a0 在(0,+)上恒成立,故 f(x)2 时,f(x)在 0,-2-42
12、和+2-42,+上单调递减,在-2-42,+2-42上单调递增.(2)证明:在(1)中取 a=2,可知 f(x)=2lnx-x+1在(0,+)上单调递减,所以当 x1 时,f(x)f(1)=0,即 lnx1,可得 ln 1+1 12+1-+1=2+12(2+).取 k=1,2,n,累加得 ln2+ln32+ln+1 34+512+2+122+2,即 ln(n+1)0,f(x)在(0,+)上单调递增,不合题意.若 a0,所以 g(x)在 0,-1 上单调递减,在-1,+上单调递增,所以 g(x)min=g-1=-a-aln-1=-a 1+ln-1.(i)当 1+ln-1 0,即-ea0 时,g(
13、x)=1-alnx0,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,不合题意;(ii)当 1+ln-1 0,即 a-e 时,g-1 0,易知 g142 0,142-10,则 g(x)=-+12 0,g e1=e-1-10,f(x)0,当 x(x0,+)时,g(x)0,f(x)1.因为 x1x0,x2x0,所以 lnx10,lnx20,ln(x1+x2)0.由(1)可知函数 f(x)在(x0,+)上单调递减,所以 f(x1)f(x1+x2),f(x2)f(x1+x2),即ln1e1ln(1+2)e(1+2),ln2e2ln(1+2)e(1+2).现证明不等式+,其中 a,b,c,d(0,+).要证+,即证+,即证 abd+ad2+b2c+bcdabd+bcd,即证 ad2+b2c0,显然成立.再证明:若e,e,其中 a,b,c,d,e(0,+),则+e.由e,e 可得 abe,cde,故 a+cbe+de=(b+d)e,故+e.所以ln1e1+ln2e2ln1+ln2e1+e2ln(1+2)e(1+2),即ln1+ln2ln(1+2)e1+e2e(1+2),即 ln(12)ln(1+2)e-1+e-2,所以 log(1+2)(x1x2)e-1+e-2.
