1、高考资源网（） 您身边的高考专家7.3.3余弦函数的性质与图像(教师独具内容)课程标准：1.借助单位圆理解余弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单调性等性质.2.能用五点法画出余弦函数的图像，利用诱导公式和正弦函数图像的平移得到余弦函数的图像，利用图像研究余弦函数的性质教学重点：掌握余弦函数的性质教学难点：余弦函数性质的综合运用.【知识导学】知识点一余弦函数的图像(1)对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以ycosx是一个函数，一般称为余弦函数，函数ycosx的图像称为余弦曲线(2)余弦曲线知识点二余弦函数的性质函数ycosx定义域R值域1,1奇偶性偶函数周期性以2k(kZ，k
2、0)为周期，2为最小正周期单调性当x(2k1)，2k(kZ)时，递增；当x2k，(2k1)(kZ)时，递减最大值与最小值当x2k(kZ)时，最大值为1；当x(2k1)(kZ)时，最小值为1【新知拓展】1用“五点法”和变换法作函数yAcos(x)的图像，求这个函数的最大值、最小值、周期以及单调区间等，方法与yAsin(x)是类似的2余弦曲线ycosx是把正弦曲线向左平移个单位长度而得到的，相应地，对称中心、对称轴、单调区间都是向左平移个单位长度，可以结合正弦曲线来掌握余弦曲线的特性由于是曲线向左平移，周期性不改变，最值不改变3(1)函数ysin(x)当k时是奇函数；当k时是偶函数(2)函数yco
3、s(x)当k时是偶函数；当k时是奇函数1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数是偶函数，且与y轴只有一个交点()(2)将余弦曲线向左平移个单位得到正弦曲线()(3)在区间0,2上，函数ycosx当且仅当x0时取得最大值1.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)下列区间中，使函数ycosx为增函数的是()A0，B.C.D，2(2)下列函数中，周期为的是()AysinBysin2xCycosDycos4x(3)函数ycosx图像的一条对称轴方程是()Ax0BxCxDx(4)余弦函数ycosx取最大值时，x的取值的集合为_答案(1)D(2)D(3)A(4)x|x2k，kZ题型一 余弦函
4、数的图像例1用“五点法”画出函数y2cos2x的简图解因为y2cos2x的周期T，所以先在区间0，上按五个关键点列表，描点，并用光滑的曲线将它们连接起来如图x02x02cos2x101012cos2x20202然后把y2cos2x在0，上的图像向左、右平移，每次平移个单位长度，则得y2cos2x在R上的图像金版点睛函数yAcos(x)(A0，0)的图像的画法(1)五点法列表如下：xx02yAcos(x)A0A0A(2)图像变换法由ysinxyAsin(x)的图像变换过程，可以得到ycosxyAcos(x)的图像变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径用五点法画出函数ycos，x0，的图像解列
5、表：x02x0cos1010描点画图，如图题型二 与余弦函数有关的值域(最值)问题例2(1)求函数y的值域；(2)求函数ysin2x4cosx的值域解(1)解法一：y1，当cosx1时，ymin1，函数的值域为.解法二：由y，得cosx.又1cosx1，y，即函数的值域为.(2)y1cos2x4cosx(cosx2)25，当cosx1，x2k(kZ)时，ymin4，当cosx1，x2k(kZ)时，ymax4.f(x)的值域为4,4金版点睛与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法(1)对于yacosxb的形式，借助余弦函数的有界性|cosx|1求解(2)对于yAcos(x)k(A0)的形式，采用整
6、体代换法求解，令xt，借助ycost的图像及性质求解，注意x的取值范围对t的影响(3)对于y的形式，采用分离常数法或反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求解(4)对于yacos2xbcosxc的形式，利用二次函数的有关知识求解(1)y2cos，x，求y的值域；(2)yacosxb的最大值是3，最小值是1，求a和b.解(1)x，02x.cos0时，a2，b1；a0时，a2，b1.综合得，a2，b1或a2，b1.题型三 余弦函数的周期性与奇偶性例3判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期：(1)y3cos2x，xR；(2)ycos.解(1)求周期：解法一：把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小
7、正周期为2，这就是说，当u增加到u2且必须至少增加到u2时，函数cosu的值重复出现而u22x22(x)，所以当自变量x增加到x且必须至少增加到x时，函数值重复出现，因此，y3cos2x的周期为.解法二：y3cos2x的周期T.判断奇偶性：xR且有3cos2(x)3cos2x，y3cos2x，xR为偶函数(2)函数ycos的周期T.f(x)ycossinx，f(x)sinsinxf(x)，ycos为奇函数金版点睛1求函数的最小正周期的基本方法(1)定义法：应用周期函数的定义来确定最小正周期(2)公式法：对于余弦型函数可应用T求得(3)图像法：画出函数图像，观察可得2判断函数奇偶性的方法按函数奇
8、偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(x)之间关系时的应用(1)函数ycos的最小正周期为，则()A10B5C10D10(2)函数y|cosx|的最小正周期为()A2BC.D.(3)函数f(x)cos2x1的图像关于_(选填“原点”或“y轴”)对称答案(1)D(2)B(3)y轴解析(1)由T，可知，得|10，即10.(2)|cos(x)|cosx|cosx|，y|cosx|的最小正周期为.(3)f(x)cos(2x)1cos2x1f(x)，函数f(x)是偶函数，图像关于y轴对称.题型四 余弦函数的单调性及应用例4(1)求下列函数的单调区间：
9、y1cosx；y3cos.(2)比较大小：cos与cos.解(1)ycosx在(2k1)，2k(kZ)上单调递增，在2k，(2k1)(kZ)上单调递减，y1cosx的单调递减区间是(2k1)，2k(kZ)，单调递增区间是2k，(2k1)(kZ)y3cos3cos，为增函数又ycos在2k，2k(kZ)上为增函数，在2k，2k(kZ)上为减函数，由2k2k(kZ)，得8kx8k(kZ)，由2k2k(kZ)，得8kx8k(kZ)，所求函数的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)(2)coscoscos，coscoscos.因为函数ycosx在0，上单调递减，且0cos，即coscos.金版
10、点睛三角函数单调性问题的解题策略(1)求函数单调区间，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意定义域及复合函数单调性的规律求函数yAcos(x)单调区间时，可以利用诱导公式将变为正值，再把x视为一个整体由A的符号来确定单调性，若A0，则其单调区间与余弦函数的单调性一致；若A0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为()A.B(，1)C(0,1)D(2，1)答案B解析用五点作图法作出函数ycosx(x0)的图像如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(，1)2下列区间中满足函数ycos为减函数的是()A.B，0C.D.答案C解析在上，x，余弦函数ycos在上没有单调性，故排除A；在，0上，x，余
11、弦函数ycos在，0上没有单调性，故排除B；在上，x0，余弦函数ycos在上单调递减，故C满足条件；在上，x，余弦函数ycos在上没有单调性，故排除D.还可直接求出函数的单调递减区间，从而求得答案3函数y2cosx1的单调递减区间是_答案2k，2k(kZ)解析函数y2cosx1的单调递减区间与函数ycosx的单调递减区间相同4函数ycosx4，x0,2的图像与直线y4的交点坐标为_答案，解析作出函数ycosx4，x0,2的图像(图略)，容易发现它与直线y4的交点坐标为，.5判断函数y的奇偶性解由cosx1x2k(kZ)y0且定义域为x|x2k，kZ关于原点对称，故所求函数既是奇函数又是偶函数- 12 - 版权所有高考资源网