1、忽略了n的取值已知数列满足，求数列的通项公式【错解】由，可得两式相除可得【错因分析】仅适用于且时的情况，故不能就此断定就是数列的通项公式【试题解析】当时，；当时，由，可得两式相除可得，故已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如an1anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式ana1求通项公式(2)形如an1anf(n)，常用累加法即利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)求通项公式(3)形如an1band(其中b，d为常数，b0,1)的数列，常用构造法其基本思路是：构造an1xb(anx)(其中x)，则anx是公比为b的等比数列，利用它即可求出an.(4)形如an1(
2、p，q，r是常数)的数列，将其变形为.若pr，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；若pr，则采用(3)的办法来求(5)形如an2pan1qan(p，q是常数，且pq1)的数列，构造等比数列将其变形为an2an1(q)(an1an)，则anan1(n2，nN*)是等比数列，且公比为q，可以求得anan1f(n)，然后用累加法求得通项(6)形如a12a23a3nanf(n)的式子，由a12a23a3nanf(n)，得a12a23a3(n1)an1f(n1)，再由可得an.(7)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然
3、后按奇偶分类讨论即可(8)形如anan1f(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式作商可得，然后分奇、偶讨论即可(9)an1anqan1an(q0)型，将方程的两边同时除以an1an，可构造一个等差数列具体步骤：对an1anqan1an(q0)两边同时除以an1an，得到q，即q，令bn，则bn是首项为，公差为q的等差数列.(10)anpa(n2，p0)型，一般利用取对数构造等比数列具体步骤：对anpa两边同取常用对数，得到lg anrlg an1lg p，令bnlg an，则bn可归为an1panq(p0,1，q0)型.1已知数列的前项和为，数列满足，则_.【答案】【解
4、析】当时，因为，两式相减得 ，所以当时，又不符合上式，所以，因为，所以.【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法：和步骤是解答本题的关键由已知中的前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式忽略数列中为0的项设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则当最大时，_【错解】由，得，即，由可知，解不等式组即得又，故当时最大【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项【试题解析】 【正解1】由，得，即，由可知，解不等式组即得故当或时最大【正解2】由，可得，所以，
5、由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大【正解3】由，得，即，由可知，故当或时最大数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1等差数列的前n项和与函数的关系等差数列的前n项和公式为可变形为Snn2n，令A，Ba1，则SnAn2Bn.当A0，即d0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数yAx2Bx的图象上，为抛物线yAx2Bx上一群孤立的点利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题2等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项a10，公差d0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足(2)若等差数列的首项a10，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n
6、项和有最小值，且满足3求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意nN*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值(3)项的符号法：当a10，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a10时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个4在等差数列中，若，则（1）为偶数当时最大；（2）为奇数当或时最大2等差数列中，记，则当_时，取得最大值.【答案】4【解析】在等差数列中，即，由，得，即，当时，当，因此在中，当时，当时，故当时，取得最大值，故答案为.
7、【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的计算，属于难题.求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数，即，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.忽视奇数项或偶数项的符号在等比数列中，求的值.【错解】因为为等比数列，所以，由可得，故.【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件【试题解析】因为为等比数列，所以，由可得，故又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10
8、.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立3设数列的前n项和为.已知，且.（1）证明：；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由条件，对任意，有，因而对任意，有，.两式相减，得，即，又，所以.故对一切，.（2）由（1）知，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列；数列是首项，公比
9、为3的等比数列.所以.应用等比数列性质时的注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.忽视q=1致错在数列中，若，求的前n项和【错解】.【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列.【试题解析】当时，所以；当时，所以；当时，综上，.1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行
10、讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项4各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以当时，得：，即，因为的各项均为正数，所以，且，所以 由知，即，又因为，所以，所以 故，所以数列是首项为，公差为的等差数列所以（2）由（1）得，所以，所以，得，当且时，解得；当时，由得；综上，数列的前项和【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意
11、在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有
12、关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成简记为2数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的
13、有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如1，1，1，1，1，1，无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，3数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况（2）解析法：主要有两种表示方法，通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示数列用图象表示时，可
14、以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点4数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示5等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得令，则，其中，为常数（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列（2）当时，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点6等差数列的前n项和首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：令，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，
15、点是函数的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题7用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列8等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，（2）若，则特别地，若，则；若，则有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以m
16、d为公差的等差数列（4）数列是常数是公差为td的等差数列（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列（6）若，则9与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为（2）构成公差为的等差数列（3）若数列共有项，则，（4）若数列共有项，则，（5），10等比数列的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则推广：若，则（2）若成等差数列，则成等比数列（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是
17、公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列（4）成等比数列，公比为（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列（6）当时，；当时，（7）（8）若项数为，则，若项数为，则（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）注意：这里连续m项的和均非零11求和常用方法方法1错位相减法求和的注意点在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点：乘数（式）的选择；对公比q的讨论（是否为1）；两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；相消项中构成数列的项数方法2裂项相消法求和的注意点在应用裂项相消法求和时应注意：（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最
18、后一项，是否还有其他项方法3求和方法分组求和法的解题步骤利用分组求和法解题的步骤：根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；分组求和，分别求出各个数列的和；得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题1已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.2记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，,故选A【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学
19、计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断3已知数列满足，则A10B20C100D200【答案】C【解析】因为，所以数列是以为首相，为公差的等差数列，所以，则.【名师点睛】本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题.4等比数列的各项均为正数，且，则ABCD【答案】B【解析】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，则有，则，故选B5已知数列的前项和为，且，则A200B210C400D410【答案】B【解析】由题，又因为，所以当时，可解的，当时，与相减得，当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，当为
20、偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，所以当为正整数时，则，故选B.【名师点睛】本题考查的知识点主要是数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题.6在数列中，已知，则等于A BC D【答案】B【解析】将等式两边取倒数得到，是公差为的等差数列，=，根据等差数列的通项公式的求法得到，故=.故答案为B.【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出再作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等.7已知数列是递增数列，且对，都
21、有，则实数的取值范围是A BC D【答案】D【解析】an是递增数列，an+1an恒成立，an=n2+n，（n+1）2+（n+1）n2+n恒成立，2n1对于nN*恒成立而2n1在n=1时取得最大值3，3.故选D【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将an+1和an作差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性.8已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为A B C D【答案】C【解析】由（），可得此数列为： ， 的整数项为,数列的各项依次为： ，末位数字分别是，故的末位数
22、字为3，故选C9【2019年高考浙江卷】设a，bR，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则A 当B 当C 当D 当【答案】A【解析】当b=0时，取a=0，则.当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.当时，则，.（）当时，则， ，则， ，故A项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.10“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数
23、学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A BC D【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.11记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【答案】【解
24、析】设等比数列的公比为，由已知，即.解得，所以【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算12记为等差数列的前项和，若，则_.【答案】100【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得得【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.13在等比数列中，成等差数列，则_【答案】【解析】，成等差数列，即，解得：，故填.【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于
25、基础题.14设是等比数列的前项和， ，若，则的最小值为_【答案】20【解析】很明显等比数列an的公比q0，q1.，则，当且仅当q3=2,即时取等号.S9S6的最小值为20.15在数列中，且，则的通项公式为_【答案】【解析】在数列中，上式相加：.16已知等差数列，若，且，则公差_【答案】或【解析】若，-得.（1）若，显然，则 又，所以，解得，满足题意（2）若，则 又， ，得，故答案为0或617已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为q，由题设得，即解得（舍去）或q=4因此的通项公式为（2）由（1）得，因此数列的
26、前n项和为【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.18已知等差数列中，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，解得，又，.（2）令数列的前项和为.，.【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.19设，数列满足：且.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】（1）由题意知： ，又，是以4为首项， 2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，故.，.累加得： ，即.而，. 20设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.（1）求和的通项公式；（2）设数列满足求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意，得解得故.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2） .记则得，.所以， .【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
