1、第8课时三角函数的诱导公式(2) 教学过程一、 问题情境在RtABC中,C=90,则它们的两个锐角A,B的三角函数值之间有什么关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题1在RtABC中,A=-B,则有sinA=cosB, cosA=sinB成立,那么,对于任意的两个角, ,若=-,是否也有sin=cos, cos=sin成立呢?(结合初中知识,引导学生从特殊推广到一般)问题2若=-,则, 的终边具有什么关系?(引导学生说出, 的终边关于直线y=x对称)问题3反之,若角, 的终边关于直线y=x对称,则, 有什么联系?(引导学生理解说出=2k+- (kZ)问题4若角, 的终边关于直线y=x对称,它们
2、分别与单位圆交于点P, Q,则P, Q的坐标分别是什么?它们有什么关系?根据三角函数的定义,点P(cos, sin), Q(cos, sin),又P, Q关于直线y=x对称,则由此可得特别地,角与-的终边关于直线y=x对称,因此可得诱导公式五:sin=cos, cos=sin.(二) 理解概念 1. 诱导公式五是直角三角形中两锐角间的三角函数关系的推广. 2. 由诱导公式五可得tan=. 3. 诱导公式五中的的取值范围是一切实数,在公式中以-代替,得sin=cos(-)=cos,cos=sin(-)=-sin.此为诱导公式六.同时,可得tan=-. 4. 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两
3、个角的三角函数之间的关系,换句话说,诱导公式的实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系. 5. 诱导公式的结构特征:奇变偶不变,符号看象限.公式的作用:化任意角的三角函数为锐角的三角函数求解.三、 数学运用【例1】化简:(1) sincos;(2) .3(见学生用书P15)处理建议让学生进行“变角”,转化为公式的形式,进而应用诱导公式来解决问题.规范板书解(1) 原式=sin=(-cos)sin=cos2;(2) 原式=cos.题后反思将代数式变形成诱导公式的形式,是利用诱导公式的前提.本例(2)中把不熟悉的角-写成熟悉的角+,体现了“换角”的方法.变式已知sin=,且是第三
4、象限角,求sin(-7)的值.4处理建议引导让学生对-进行“变角”,从而化简已知三角函数式.规范板书解由sin=,有sin=,所以sin=-,即cos=-.又是第三象限角,所以sin0,从而sin=-=-,所以sin(-7)=-sin(7-)=-sin(-)=-sin=.题后反思本题先考虑利用诱导公式对已知和所求进行化简,再用同角三角函数关系来沟通已知与所求.对于此类三角函数求值问题,也需要关注已知与所求之间的直接联系.【例2】(教材第21页例4)已知cos(75+)=,且-180-90,求cos(15-)的值.5(见学生用书P16)处理建议引导学生设法将所求角(未知角)15-表示成已知角75
5、+的形式,即15-=90-(75+).解题的关键是寻找所求角(未知角)与已知角的关系.规范板书解由-180-90得-10575+-15,则sin(75+)0.又cos(75+)=,所以cos(15-)=cos90-(75+)=sin(75+)=-=-=-.题后反思本例体现了“换角”的方法.在寻找条件与结论之间的关系时,常采用整体思想.本题也可用换元法求解:令=75+,则=-75,从而15-=15-(-75)=90-,因此,问题转化为已知cos=,且-105-15,求cos(90-)的值.这样问题的条件与结论之间的联系更为清楚、明白.变式设tan=a,求值:.6处理建议引导学生共同讨论角的联系,
6、采用整体思想来处理问题.规范板书解令=+,则=-,从而原式=.题后反思充分应用整体思想来处理问题,可化繁为简.*【例3】是否存在角, ,且, (0, ),使等式sin(3-)=cos, cos(-)=-cos(+)同时成立?若存在,求出, 的值;若不存在,说明理由.7处理建议先引导学生化简三角函数式,然后共同探讨怎样解决是否存在性问题(先假设存在,把假设作为一个条件来研究问题),最后再引导学生求出角, .规范板书解假设存在满足条件的角, ,则由sin(3-)=cos可得sin=sin,由cos(-)=-cos(+)可得cos=cos,将上述两式平方相加得:sin2=,因为,所以sin=,故=.
7、当=时,cos=,因为 (0, ),故=;当=-时,cos=,因为 (0, ),故=.综上所述,存在, 满足条件,其中或题后反思利用同角三角函数的基本关系式来进行消元,是解本题的关键.在解题中,若题目中有多个变量,且它们之间存在着某种等量关系,我们就可以利用这种等量关系进行消元,从而简化问题.四、 课堂练习 1. 已知sin=,则cos=-.解cos=-cos=-sin=-. 2. 化简的结果是cos.解原式=cos. 3. 化简sin262+tan54tan45tan36+sin228的结果是2.解原式=sin262+tan541tan(90-54)+sin2(90-62)=sin262+tan54+cos262=1+1=2. 4. 已知sin=,求cos的值.解令-= ,则=+,+=+,所以cos=cos=-sin=-.五、 课堂小结 1. 在推导诱导公式五、六中,应用了对称思想、数形结合思想、化归思想. 2. 要学会寻找所求角(未知角)与已知角之间的关系,正确运用诱导公式.记忆诱导公式要诀:奇变偶不变,符号看象限.