1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。滚动评估检测(一)(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为实数集R,集合A=x|x2-3x1,则(RA)B=()A.(-,0 3,+) B.(0,1 C.3,+)D.1,+)【解析】选C.集合A=x|x2-3x0=x|x(x-3)0=x|0x1=x|2x20=x|x0.所以RA=x|x0或x3,所以(RA)B=x|x3.2.已知a,b为实数,命题甲:abb2
2、,命题乙:b2,即b(b-a)0知b与b-a异号,由0知ab0,故甲是乙的必要不充分条件.3.下列命题中的假命题是()A.x0(0,+),x0x+1C.x0,5x3xD.x0R,ln x0sin x恒成立,所以x0(0,+),x0sin x0,不正确;x(-,0),令g(x)=ex-x-1,可得g(x)=ex-1g(0)=0,可得x(-,0),exx+1恒成立.由指数函数的性质可知,x0,5x3x正确;x0R,ln x00,当x(0,1)时,ln x0成立.4.已知a=2xdx,函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示,则函数f+a图象的一个对称中心是()A.B.C.D.【解析】选C.
3、a=2xdx=1,T=4=,所以=2.又是五点中的第2个点,所以2+=,所以=.显然A=2,所以f(x)=2sin.则f+a=2sin+1,令2x-=k,kZ,则x=+,kZ,当k=1时,x=.5.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与APM的面积y对应的函数y=f(x)的图象的形状大致是下图中的()【解析】选A.当点P在AB上时,如图y=x1=x(0x1);当点P在BC上时,如图所以PB=x-1,PC=2-x,所以y=S正方形ABCD-SADM-SABP-SPCM=1-1-(x-1)1-(2-x)=-x+,所以y=-x+(1x2
4、);当点P在CM上时,如图,因为MP=2.5-x,所以y=(2.5-x)=-x+(2x2.5),综上得到的三个函数都是一次函数,由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图象,只有A的图象是三个一次函数且在第二段上y随x的增大而减小.6.函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象是()【解析】选A.f(x)的定义域为x|x1.f(x)=所以f(x)=所以当x1时,f(x)0,当x0,当-2x-1时,f(x)0,所以f(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,-1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-e-x(x-1);函数f(x)有
5、2个零点;f(x)0时,-x0f(-x)=e-x(-x+1),因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=e-x(x-1),所以错;因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,令f(x)=ex(x+1)=0即x=-1,所以f(-1)=f(1)=0,所以错;当x0时,f(x)=ex(x+1)0得x+10,即x0时,f(x)=e-x(x-1)0,得x-10,即0x1,所以f(x)0的解集为(-,-1)(0,1),所以正确.8.函数f1(x)=,f2(x)=,fn+1(x)=,则函数f2 018(x)是()A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是
6、奇函数也不是偶函数【解析】选A.由题意可知f1(x)=(x0)是奇函数,f2(x)=(x0)是奇函数,f3(x)=(x0)是奇函数由不完全归纳法提出猜想fn(x)为奇函数,其定义域关于原点对称.当n=1时,f1(x)=命题成立;假设n=k(kN+)时命题成立,即fk(x)是奇函数,其定义域关于原点对称,则fk+1(x)=,fk+1(-x)=-=-fk+1(x),即函数fk+1(x)是奇函数,因为fk+1(x)=分母不为0,所以其定义域为x|x+fk(x)0,关于原点对称.由数学归纳法可知函数fn(x)为奇函数.9.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x)-f(x)-1 的零点个数为()A
7、.8B.7C.6D. 5【解析】选C.作函数y=f(x),y=+1的图象,有四个交点,分别为t10,t2=0, 0t31,根据函数y=f(x)的图象知,方程f(x)=t对应解个数为0,1,3,2,因此零点个数为0+1+3+2=6.10.定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)成立,且f(x)在-1,0上单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.cba【解析】选D.因为f(x-1)=f(x+1),所以T=2, a=f(3)=f(-1),b=f()=f(-2), c=f(2)=f(0),因为-1-
8、2ba.11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有f(x+2)=f(x).当0x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是()A.0B.0或-C.-或-D.0或-【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以T=2.又0x1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=x2在0,2内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0x1)相切时也恰有两个公共点,由题意知y=(x2)=2x=1,所以x=.所以A,又A点在y=x+a上,所以a=-.12.已知函数
9、f(x)=e4x-1,g(x)=+ln(2x),若f(m)=g(n)成立,则n-m的最小值为()A.B.C.D.【解析】 选B.设e4m-1=+ln(2n)=k(k0),则m=+,n=,令h(k)=n-m=-,所以h(k)=-.又h(k)=-是增函数,h=0.所以h(k)在上递减,在上递增,所以h(k)min=h=,即n-m的最小值为.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(x)在点x=1处的切线方程为_.【解题指南】利用换元法求出函数解析式,先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导
10、数的几何意义:函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率,即可求出切线的斜率,从而问题解决.【解析】令t=ex,因为f(ex)=x+ex,所以f(t)=t+ln t,所以f(x)=x+ln x,所以f(x)=1+,所以f(1)=2,因为f(1)=1,所以f(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.答案:2x-y-1=0 14.已知a0且a1,函数f(x)=+ln(-x),设函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=_.【解析】f(x)=+ln(-x)=+ln(-x)+2,设g(x)=+ln(-x),g(-x)=+ln(+x)=-ln(-x)=-g(x),则g(x)为奇函数,所以g(x)
11、max+g(x)min=0.M+N=4.答案:415.若偶函数y=f(x),xR,满足f(x+2)=-f(x),且当x0,2时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin|x|在-10,10内的根的个数为_.【解析】因为函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以偶函数y=f(x)为周期为4的函数,由x0,2时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在-10,10上的图象,同时作出函数y=sin|x|在-10,10上的图象,交点个数即为所求.数形结合可得交点个数为10.答案:1016.将f(x)=2x-的图象向右平移
12、2个单位后得曲线C1,将函数y=g(x)的图象向下平移2个单位后得曲线C2, C1与C2关于x轴对称,若F(x)=+g(x)的最小值为m,且m2+,则实数a的取值范围为_.【解析】首先应求出g(x)的表达式,曲线C1对应的函数式为y=2x-2-,曲线C2与C1关于x轴对称,因此C2的函数解析式为y=-=-2x-2+,C2向上平移2个单位,就是函数g(x)的图象,则g(x)=-2x-2+2,F(x)=-2x-2+2,其最小值大于2+,说明函数G(x)=-2x-2+=2x+的最小值大于,下面观察函数G(x),若0,则当x+时,G(x)-,G(x)无最小值,同理当4a-1a2.答案:三、解答题(本大
13、题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a20;命题q:实数x满足0.(1)若a = 1,且pq为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)由x2-4ax+3a20得(x-3a)(x-a)0,所以ax3a,当a = 1时, 1x3,即p为真时实数x 的取值范围是1x3.q为真时0等价于得2x 3,即q为真时实数x 的取值范围是23;p为:实数x满足x2-4ax+3a20,并解x2-4ax+3a20得xa,或x3a.p是q的充分不必要条件,所以a应满足:a2,且3a3
14、,解得1a2.所以a的取值范围为 (1,2.18.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,其中a,b为实数.(1)求a,b的值.(2)用定义证明f(x)在R上是减函数.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=1.又f(-1)=-f(1),所以=-,解得a=1.当a=1且b=1时,f(x)=,经检验,满足f(x)是R上的奇函数.(2)由(1)得f(x)=-1+,任取实数x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x1x2,所以0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在R上为减函数.19.(12分)已知函数f(
15、x)=(x2+mx+n)ex,其导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)求函数f(x)在区间-2,2上的最值.【解析】(1)因为f(x)=(x2+mx+n)ex,所以f(x)=(2x+m)ex+(x2+mx+n)ex=x2+(2+m)x+(m+n)ex,由知解得从而f(x)=(x2+x-1)ex,所以f(x)=(x2+3x)ex,所以f(1)=e,所以f(1)=4e,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)由于ex0,当x变化时,f(x),f(
16、x)的变化情况如表:x(-,-3)-3(-3,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增故f(x)的单调增区间是(-,-3),(0,+),单调减区间是(-3,0),(3)由于f(2)=5e2,f(0)=-1,f(-2)=e-2,所以函数f(x)在区间-2,2上的最大值为5e2,最小值为-1.20.(12分)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x+1.(1)若x=2是f(x)的极值点,求f(x)的极大值.(2)求实数a的范围,使得f(x)1恒成立.【解析】(1)f(x)=x-(a+1)+,因为x=2是f(x)的极值点,所以f(2)=2-(a+1)+=
17、0解得a=2,当a=2时,f(x)=x-3+=当x变化时,x(0,1)1(1,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1)=-.(2)要使得f(x)1恒成立,即x0时,x2-(a+1)x+aln x0恒成立,设g(x)=x2-(a+1)x+aln x,则g(x)=x-(a+1)+=,()当a0时,由g(x)0得函数g(x)的单调增区间为(1,+),此时g(x)min=g(1)=-a-0,得a-.()当0a1时,由g(x)0得函数g(x)的单调增区间为(0,a),(1,+),此时g(1)=-a-0,所以不合题意.()当a=1时,g(x)=0,g(x
18、)在(0,+)上单调递增,此时g(1)=-a-1时,由g(x)0得函数g(x)的单调增区间为(0,1),(a,+),此时g(1)=-a-0),所以f(x)=2x+1-=,当x时,f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)设切点为M(t,f(t),f(x)=2x+a-,切线的斜率k=2t+a-,又切线过原点,则k=,所以=2t+a-,即t2+at-ln t=2t2+at-1.所以t2-1+ln t=0,存在性:t=1满足方程t2-1+ln t=0,所以t=1是方程t2-1+ln t=0的根.再证唯一性:设(t)=t2-1+ln t,(t)=2t+0,(t)在(0,+)上单调
19、递增,且(1)=0,所以方程t2-1+ln t=0有唯一解.综上,切点的横坐标为1.22.(12分)已知函数f(x)=ex-(a-1)x+b.(1)求函数f(x)的极小值.(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求证:a+1.【解析】(1)f(x)=ex-a+1.当a1时,f(x)0,f(x)在R上为增函数,函数f(x)无极小值;当a1时,令f(x)=0,解得x=ln(a-1).若x(-,ln(a-1),则f(x)0,f(x)单调递增.故函数f(x)的极小值为f(ln(a-1)=(a-1)1-ln(a-1)+b.(2)由题可知-(a-1)x1+b=0,-(a-1)x2+b=0,-得-(a-1)(x1-x2)=0,所以a-1=.要证a+1,即证x1,只需证0,即证,要证t,令F(t)=-t=()t-t,只需证F(t)0,因为F(t)=+-1=-10,所以F(t)在(0,+)内为增函数,故F(t)F(0)=0,所以成立.所以原命题成立.关闭Word文档返回原板块