1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养提升练 四十五利用空间向量证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设直线l的方向向量为(1,-1,1),平面的一个法向量为(-1,1,-1),则直线l与平面的位置关系是()A.lB.lC.lD.不确定【解析】选C.因为直线l的方向向量为(1,-1,1),平面的一个法向量为(-1,1,-1),显然它们共线,所以直线l与平面的位置关系是垂直即l.2.已知平面,的法向量分别为=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则()A.B.C
2、.,相交但不垂直D.以上都不正确【解析】选C.因为,所以与v不是共线向量,又因为v= -23+3(-1)+(-5)4=-290,所以与v不垂直,所以平面与平面相交但不垂直.3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上且AM平面BDE.则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选C.因为点M在EF上,设ME=x,所以M,因为A,D,E(0,0,1),B(0,0),所以=(,0,-1),=(0,-1),=.设平面BDE的法向量n=(a,b,c),由得a=b=c.故可取一个法向量n=.因为n=0,所以x=1,所以M.4.已知=(1,5,-2),
3、=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,-15【解析】选B.因为,所以=0,所以3+5-2z=0,解得z=4.又因为BP平面ABC,所以,所以,解得x=,y=-,所以x=,y=-,z=4.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选C.如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.=(a+b),=c,所以=(a+b)c=(ac+bc)=(a2cos 60+a2
4、cos 60)=a2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设平面与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面与向量b=(-2, 4, -8)垂直,则平面与位置关系是_.【解析】因为2a=b,所以ab.因为平面与向量a垂直,所以平面与向量b也垂直.而平面与向量b垂直,所以.答案:平行7.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为_.【解析】如图,建立空间坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0m2),则=(2,
5、1,0),=(1,-m,-2),cos =,令t=2-m(0t2),cos =.答案:8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_.【解析】不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B1(0,2,1),B(0,0,1),C1(0,2,0),所以=(-2,2,1),=(0,2,-1),所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值是cos =,所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1,ABCD均为正方
6、形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1C.(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.【解析】(1)因为A1DB1C,A1D平面A1DE,B1C平面A1DE,所以B1C平面A1DE,又B1C平面B1CD1,平面A1DE平面B1CD1=EF,所以EFB1C.(2)设正方形边长为1,以A为原点,分别以 ,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), A1(0,0,1),B1(1,0,1), D1(0,1,1),而E是B1D1的中点,所以点E的坐标为(0.5,0.5,1).设平面A1DE的法向量n1=(r1,s1,
7、t1),又=(0.5,0.5,0), =(0,1,-1),由n1,n1得:,令s1=t1=1,则n1=(-1,1,1),设平面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),又=(1,0,0),=(0,1,-1),同理可得:n2=(0,1,1),所以结合图形可得二面角E-A1D-B1的余弦值为= =.10.(2018黄冈模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EFCD.(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论.(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值.【解析】以DA,DC,DP所在直线
8、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),设DA=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,P(0,0,a).(1)因为=(0,a,0)=0,所以EFCD.(2)点G为AD的中点时,满足题意,理由如下:设G(x,0,z),则G平面PAD,=,=(a,0,0)=a =0,所以x=,=(0,- a, a)= a z=0,所以z=0,所以G点坐标为,即G点为AD的中点.(3)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z).由得,即,取x=1,则y=-2,z=1,得n=(1,-2,1).cos=,因为DB与平面DEF所成角的正弦值sin =|cos|所以,DB
9、与平面DEF所成角的正弦值的大小为.(20分钟40分)1.(5分)如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,BAC=30,圆锥的母线与底面成的角为60,则点A到平面PBC的距离为()A.B.2C.D.【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0,所以2x+2y=0,-4y+4z=0,所以y=z=-x,所以取m=(-1,1),因为=(0,4,4),所以d=,所以点A到平面PBC的距离为
10、.2.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PB底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADBC,ADAB,且PB=AB=AD=3,BC=1.在线段PD上存在一点M,使得CMPA,则PM的长为()A.B.3C.D.【解析】选C.因为在梯形ABCD中,ADBC,ADAB,所以BCAB.因为PB平面ABCD,所以PBAB,PBBC,如图,以B为原点,BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).设=(3,3,-3),所以=+=(-1+3,3,3-3),所以=-9+3(3-3)=0,解得=,所以存在点M,且PM=PD=
11、.3.(5分)给出下列命题:直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=,则l与m垂直;直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面的法向量n=(1,-1,-1),则l;平面,的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则;平面经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面的法向量,则u+t=1.其中真命题是_.(把你认为正确的命题的序号都填上)【解析】对于,因为a=(1,-1,2),b=(2,1,-),所以ab=12-11+2=0,所以ab,所以直线l与m垂直,正确;对于,a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1)
12、,所以an=01+1(-1)+(-1)(-1)=0,所以an,所以l或l,错误;对于,因为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),所以n1与n2不共线,所以不成立,错误;对于,因为点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面的法向量,所以,即,则u+t=1,正确.综上,真命题的序号是.答案:4.(12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.求证:(1)EF平面PAB.(2)平面PAD平面PDC.【证明】(1)以A为原点,AB
13、所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E,F,=,=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).因为=-,所以,即EFAB,又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)因为=(0,0,1)(1,0,0)=0,=(0,2,0)(1,0,0)=0,所以,即APDC,ADDC.又APAD=A,所以DC平面PAD.因为DC平面PDC,所以平面PAD平面PDC.5.(13分)如图,
14、四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC=AD=1.(1)求证:面PAC面PCD.(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为PA面ABCD,PB与面ABCD所成的角为PBA=45,所以AB=1,由ABC=BAD=90,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得ACCD.又因为PACD,PAAC=A,所以CD面PAC,CD平面PCD,所以平面PAC平面PCD.(2)分别以AB,AD,AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1),因为与共线,所以y(-1)-2(z-1)=0,因为=(0,2,0)是平面PAB的法向量,又=(-1,y-1,z),CE面PAB.所以(-1,y-1,z)(0,2,0)=0,所以y=1.将y=1代入,得z=.所以E是PD的中点,所以存在E点使CE面PAB,此时E为PD的中点.关闭Word文档返回原板块
