1、几何概型一、选择题1已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B. C. D.解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A).答案 A 2. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A. B. C. D.答案D3在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是()A. B.C. D.解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为.答案D4如图所示，边长为2的正
2、方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为()A. B. C. D无法计算解析由几何概型知，故S阴22.答案B5在面积为S的ABC的边上AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是 ()A. B. C. D.解析由ABC，PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，这是一个几何概型，P.答案C6ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为
3、P1.答案B7分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A. B.C. D.解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为2，则阴影区域的面积为24，所以所求概率为P.答案B二、填空题8如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为_解析 根据随机模拟的思想，这个面积是104.3.答案 4.39小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离
4、大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_解析设A小波周末去看电影，B小波周末去打篮球，C小波周末在家看书，D小波周末不在家看书，如图所示，则P(D)1.答案10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为_解析 设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选C.答案 11在区间0,1上任取两个数a，b，则关于x的方程x22axb20有实数根的概率为_解析由题意得4a24b2
5、0，a，b 0,1，ab.画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为.答案12如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为.答案三、解答题13如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率解析弦长不超过1，即|OQ|，而Q点在直径AB上是随机的，事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.14设O为坐标原点，点P的坐
6、标(x2，xy)(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率解析 (1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如下表：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，xy)(1,0)(1，1)(1，2)(0,1)(0,0)(0，1)(1,2)(1,1)(1,0)11011其中基本事件是总数为9，随机事件A“|OP|取最大值”包
7、含2个基本事件，故所求的概率为P(A).(2)设事件B为“P点在第一象限”若则其所表示的区域面积为339.由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分，其区域面积为1311.P(B).15已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y)，求当x，yR时，P满足(x2)2(y2)24的概率思路分析由题意画出图象可求面积之比解析如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)所求的概率P1.【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.
8、16已知集合A2,0,2，B1,1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：内(含边界)的概率解析(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21上”为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2y21上的点有(0，1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A).(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)的点有：(2，1)，(2，1)，(0，1)，(0,1)，共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B).