1、第21讲不等式选讲高考年份全国卷全国卷全国卷2020含绝对值的函数的图像与不等式的求解T23绝对值不等式的求解T23不等式的证明T232019不等式的证明T23绝对值不等式的求解T23求最值与不等式的证明T232018绝对值不等式的求解T23绝对值不等式的求解T23含绝对值的函数的图像与综合应用T231.2020全国卷已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.图M7-21-12.2020全国卷设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca1的解集.图M7-21-22已知函数f(x)=|2x-a
2、|+|x-1|,aR.(1)若不等式f(x)2-|x-1|无解,求实数a的取值范围;(2)当a2时,函数f(x)的最小值为2,求实数a的值.【规律提炼】绝对值不等式的解法主要有三种:一是零点分段法,即令每一个绝对值为0,找到零点,然后通过分类讨论得到每一段的解集,最后求并集,得到不等式解集的方法;二是通过数形结合,画出图像,经过定性与定量分析得到解集;三是几何法,即利用绝对值的几何意义求解的方法.测题1.2020全国卷已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.2.已知函数f(x)=|2x-1|-|x+3|+
3、m.(1)求不等式f(x)m的解集;(2)若恰好存在7个不同的整数n,使得f(n)f(x),是指kf(x)min.测题已知函数f(x)=|ax+1|+|2x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)3的解集;(2)若0a2,且对任意xR,f(x)32a恒成立,求a的最小值.第21讲不等式选讲真知真题扫描1.解:(1)由题设知f(x)=-x-3,x-13,5x-1,-131.y=f(x)的图像如图所示.(2)函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图像.y=f(x)的图像与y=f(x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当xf(x+1)的解集为-
4、,-76.2.证明:(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0.由bc(b+c)24,可得abca34,故a34,所以maxa,b,c34.3.解:(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)
5、2的最小值为43.(2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.考点考法探究解答1例1解:(1)由已知得f(x)=x-4,x-1,3x-2,-1x1,解得x5或x3,x-1;当-1x1,解得x1
6、或x13,-1x13或1x1,解得x5或x3,32x5.综上,|f(x)|1的解集为-,13(1,3)(5,+).例2解:(1)由f(x)2-|x-1|,得|2x-a|+|2x-2|2,不等式f(x)2-|x-1|无解,(|2x-a|+|2x-2|)min2,又|2x-a|+|2x-2|(2x-a)-(2x-2)|=|a-2|,|a-2|2,a4或a0,实数a的取值范围是(-,0)(4,+).(2)a2,a21,f(x)=|2x-a|+|x-1|=-3x+a+1,xa2,x-a+1,a2x1,3x-a-1,x1,则当x=a2时,f(x)min=1-a2=2,a=-22,符合题意,a=-2.【自
7、测题】1.解:(1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为x|x32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即|a-1|2时,f(x)4,所以当a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).2.解:(1)由f(x)m,得|2x-1|x+3|,(2x-1)2(x+3)2,(3x+2)(x-4)0,解得-23x4,不等式f(x)m的解集为x-23x4.(2)设g(x)=|2x-1|-|x+3|,则g(x)
8、=-x+4,x12,不等式f(x)1等价于g(x)1-m,若恰好存在7个不同的整数n,使得f(n)1,则恰好存在7个不同的整数n,使得g(n)1-m,又g(-2)=4,g(-1)=1,g(0)0,g(1)0,g(2)0,g(3)0,g(4)=0,g(5)=1,g(6)=2,g(5)1-m,g(6)1-m,即11-m,21-m,-1m12时,不等式可化为2x-1+2x+26,解得x54,12x54;当-1x12时,不等式可化为-(2x-1)+2x+26,即36,-1x12;当x-1时,不等式可化为-(2x-1)-(2x+2)6,解得x-74,-74x-1.综上所述,不等式f(x)6的解集是x-7
9、4x54.(2)由题意得g(x)=|x-1|+22,f(x)=|2x-a|+|2x+2|a+2|,则|a+2|2,解得a0或a-4,a的取值范围是(-,-40,+).【自测题】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|=-3x,x12.,方法一:作出函数f(x)=|x+1|+|2x-1|的图像,它与直线y=3的交点为A(-1,3),B(1,3),所以f(x)3的解集为(-,-1)(1,+).方法二:不等式f(x)3等价于x3或-1x12,-x+23或x12,3x3,解得x1,所以f(x)3的解集为(-,-1)(1,+).(2)因为0a2,所以-1a0,a-20,则f(x)=|ax+1|+|2x-1|=-(a+2)x,x12,所以函数f(x)在-,12上单调递减,在12,+上单调递增.所以当x=12时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f12=1+a2.因为对任意xR,f(x)32a恒成立,所以f(x)min=1+a232a,又因为a0,所以a2+2a-30,解得a1(a-3不合题意,舍去),所以a的最小值为1.