1、13.2“杨辉三角”与二项式系数的性质内容标准学科素养1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数2.理解二项式系数的性质并灵活运用.利用直观想象提升数学运算授课提示：对应学生用书第19页基础认识知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质知识梳理1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质性质内容对称性CC，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大如果
2、n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值各二项式系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即CCCC2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n1，即CCCCCC2n1 自我检测1ACCC与BCCC的大小关系是()AABBABCAB D不确定答案：B2利用杨辉三角，将(ab)7展开为_答案：a77a6b21a5b235a4b335a3b421a2b57ab6b73在(ab)8的展开式中，二项式系数最大的项为_，在(ab)9的展开式中，二项式系数最大的项为_答案：70a4b4126a5b4与126a4b5授课提示：对应学生用书第19页探究一与杨辉三
3、角有关的问题例1如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S19的值解析由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)CCCCCCCCCCC1CC1C274.方法技巧解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪探究1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051解析：设第n行从左至右第14与
4、第15个数之比为23，则CC23.3C2C，即，得：，n34.答案：34探究二二项展开式的系数和问题阅读教材P34例3试证：在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和题型：求二项展开式中某些项的系数的和方法步骤：(1)将(ab)n展开可以看出，令a1，b1，得到CCCC的值(2)再令a1，b1，得到CCCC(1)nC的值，从而得到CCCCCC的值例2设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)(1)求a0a1a2a2 018的值(2)求a1a3a5a2 017的值(3)求|a0|a1|a2|a2 018|的值解析(1)令x1，得a0a1
5、a2a2 018(1)2 0181.(2)令x1，得a0a1a2a2 01832 018.得2(a1a3a2 017)132 018，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2 018|a0a1a2a3a2 01832 018.方法技巧二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a
6、0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪探究2.设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.解析：(1)由(2x)100展开式中的常数项为C2100，即a02100(或令x0，则展开式可化为a02100)(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，故a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100，与联立相减可得a1a3
7、a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.探究三求二项展开式中系数或二项式系数最大的项阅读教材P35练习1(1)(ab)n的各二项式系数的最大值是_解析：当n为偶数时，各二项式系数的最大值是Cn.当n为奇数时，各二项式系数的最大值是CnCn.答案：n为偶数时，Cnn为奇数时，Cn或Cn例3已知(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解析T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26，解得n8.
8、在(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第k1项的系数最大，则有解得5k6.k5或k6(k0,1,2，8)系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.方法技巧1.求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a、bR展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项跟踪探究3.
9、已知n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大(1)求该展开式中所有有理项的个数；(2)求该展开式中系数最大的项解析：(1)由题意可知16，n10.Tr1Cx2rx2rC2rx(0r10，且rN)，要求该展开式中的有理项，只需令Z.r0,2,4,6,8,10.有理项的个数为6.(2)设第Tr1项的系数最大，则即解不等式组得r.rN，r7.展开式中系数最大的项为T8C27x15 360x.授课提示：对应学生用书第20页课后小结(1)二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出(2)求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的
10、值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握(3)注意以下两点：区分开二项式系数与项的系数求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r0,1,2，n的范围素养培优1.混淆各项的二项式系数和与各项的系数和致错在(12x)7的展开式中，各项的二项式系数和为_；各项的系数和为_；各项系数的绝对值之和为_易错分析：混淆了展开式中各项的二项式系数之和与各项系数之和，产生错误的结果考查数学抽象、数学运算的学科素养自我纠正：各项的二项式系数和为27128；令x1，则得各项的系数和为(12)71；令x1，则得各项系数的绝对值之和为(12)72 187.答案：12812 1872混淆奇(偶)数项系数与奇(偶)次项系数致错(1x)6的展开式中，x的奇次项系数之和是()A32B32C0 D64易错分析：混淆了展开式中奇数项系数与奇次项系数，导致求出错误的结果，考查数学抽象及数学运算的学科素养自我纠正：(1x)6CCxCx2Cx6，奇次项系数之和为CCC32，故选B.答案：B