1、14充分条件与必要条件14.1充分条件与必要条件内容标准学科素养1.根据具体命题，明确条件与结论的关系数学抽象、逻辑推理2.针对具体命题理解必要条件、充分条件的意义.授课提示：对应学生用书第11页教材提炼知识点充分条件与必要条件下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 知识梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(
2、necessary condition)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件自主检测1若aR，则“a1”是“|a|1”的()A充分条件B必要条件C既不是充分条件也不是必要条件D无法判断答案：A2“ab”是“acbc”的_条件(充分，必要)答案：充分3“x21”是“x1”的_条件(充分，必要)答案：必要授课提示：对应学生用书第11页探究一充分条件、必要条件的判定例1指出下列“若p，则
3、q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PAPB.解析(1)这是一条平行四边形的判定定理，pq，所以p是q的充分条件q是p的必要条件(2)这是三角形相似的一条性质定理，pq，所以q是p的必要条件p是q的充分条件(3)这是一条菱形的性质定理，pq，所以p是q的充分条件q是p的必要条件(4)这是线段垂直平分线的性质pq.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件一般地，要判断“若p，则q
4、”形式的命题中p与q的条件关系，只需判断是否有“pq”，即“若p，则q”是否为真命题只有pq，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果pq，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件(1)“xy为无理数”是“x，y为无理数”的_(2)“x是无理数”是“x2也是无理数”的_答案：(1)既不充分也不必要(2)必要条件探究二充分条件、必要条件与集合的关系例2指出下列各组题中，p是q的什么条件(1)p：x1，q：x2；(2)p：x0，y0，q：xy0；(3)p：0x5，q：0x3.解析(1)x|x1x|x2即pq但qp.p是q的充分不必要条件(2)p：(x，y)|xy0pq但qp.p是q的充分不必要条
5、件(3)p：x|0x5x|0x3pq但qp.p是q的必要不充分条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则若AB，则p是q的充分条件若BA，则p是q的必要条件若AB且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件若BA且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件“x1”是“1”的_条件(充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)解析：1即0x1，x|x1x|0x1答案：必要不充分探究三由充分，必要条件求参数例3已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解析p：2x10，q：1m
6、x1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0m3.将条件关系转化为集合的包含关系从而建立参数的不等式(组)求解.将例3中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围解析：p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以或解不等式组得m9或m9，所以m9，即实数m的取值范围是m|m9授课提示：对应学生用书第12页一、“充分”与“必要”的孪生兄弟关系对于一个命题“若p则q”，研究
7、p与q的条件关系时一要明确所问：“p是q的什么条件”还是“q是p的什么条件”二要明确推导关系，即原命题的真假，对于同一个推理形式“pq”而言，“p是q”的充分条件，同时“q是p”的必要条件二者是同一个问题、相伴孪生就命题而言，如果将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题结论原命题逆命题p与q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件即：(1)若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件(3)若pq，且qp，则称p是q的必要不充分条件(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件典例p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件s是r的必要条件，也是q的充分条件判断p是q的什么条件，p是s的什么条件解析由题意得，p、q、r、s之间的关系如图：p是q的充分不必要条件p是s的充分不必要条件二、混淆“充分条件”“必要条件”典例若“xm”是“x2或x1”的充分不必要条件求m的范围解析由题意得x|xmx|x2或x1如图：m1.纠错心得本题将条件关系转化为集合的真包含关系借助数轴，易去掉m1或者将包含关系弄错
