1、安徽省合肥市一六八中学2019-2020学年高一数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题：（本大题共12个小题）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别化简集合,再求并集即可【详解】，则故选：A【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题2.已知向量， ，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可.【详解】解:因为,所以,因为,所以,所以向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【
2、答案】B【解析】【分析】结合指数式与对数式的性质，可将三个式子化为指数为的形式，然后利用幂函数的单调性可得出答案.【详解】由题意，因为函数在上单调递增，所以，即.故选：B.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数式与对数式的运算性质，考查幂函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.4.若函数f（x）tanx的定义域为1，1，且f（0）=0，则满足f（2x1）f（xm+1）的实数x的取值范围是（ ）A. （0，1B. （1，0）C. 1，2）D. 0，1）【答案】D【解析】【分析】由，可求，进而可求，结合函数的单调性即可求解不等式【详解】由，即得：.所以.在-1，1上单调递增.则由可得
3、，.解可得：，故选：D【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，属于中档试题5.已知函数（），将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数的图象关于轴对称，则下列说法错误的是（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 的图象关于对称D. 的图象关于对称【答案】B【解析】【分析】根据“左加右减”的平移原则，以及得到的函数为偶函数，求出的值，再讨论的单调性和对称性即可.【详解】对于函数（），将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，再根据得到的函数的图象关于y轴对称，可得，即，.在上，单调递减，故A正确；在上，在该区间上不单调函数，故B错误；当时，故的图象关于对称，故C正确；当时，为最
4、小值，故的图象关于对称，故D正确，综上所述，错误的是.故选：B.【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求参数的值，以及正弦型函数单调区间的求解，以及对称轴的求解，属综合性中档题.6.函数则函数的零点个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据解析式分情况分段求解零点即可.【详解】设,令,则或.当时,由,得,由,得；当时,由,即,无解；由,即,得,所以有三个零点,故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数问题,需要分段求解零点并判断零点是否在对应区间内.属于中档题.7.在中，的平分线交于D，且有.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
5、由B、C、D三点共线，可得的值，求出关系，再利用是角平分线，结合面积公式，求出边长，用余弦定理求出.【详解】由B、C、D三点共线知，,，即，所以，由余弦定理得.故选:B.【点睛】本题考查点共线的条件关系，考查角平分线的性质，以及余弦定理，属于中档题.8.已知，且都是锐角，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可得的值，利用两角和的正弦函数公式得到的值，结合的范围，即可求解.【详解】由题意，可得，可得，即，所以由，可得，所以，解得，因为都是锐角，所以，所以,因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式和两
6、角和的正弦函数的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9.已知向量，满足，且对任意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为对任意实数，不等式恒成立所以对任意实数恒成立所以，即又所以，即，解得又，所以，所以因为，所以故选【考点】三角函数求值；恒成立问题；平面向量的数量积.10.已知两条直线：和：（），与函数的图象从左至右相交于点A、B，与函数的图象从左至右相交于C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，当m变化时，的最小值为（ ）A. 16B. 8C. D. 【答
7、案】B【解析】【分析】根据函数图像，以及对数运算，将表示为的函数，再利用均值不等式求解最小值即可.【详解】在同一坐标系中作出，（），与的图象，设A，B，C，D各点横坐标分别为 则由，解得，；由（），解得，；，则当且仅当，即时取得最小值.故的最小值为8，故选：B.【点睛】本题考查对数型函数的图像，以及对数运算，涉及均值不等式的使用，属中档题.11.已知定义在上的函数，且，函数的图象关于点中心对称，对于任意，都有成立. 则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数是奇函数，构造函数，研究函数的奇偶性和单调性，分类讨论求解不等式的解集即可.【详解】函数的图象关于
8、点中心对称，函数的图象关于点中心对称，即函数是奇函数，对任意的正数，恒成立，不妨设，则，设，则不等式等价为，且函数是偶函数，即在上为增函数，则函数在上是减函数.当时，不等式即，即，所以；当时，不等式即，即，所以；因此不等式解集为：故选：C.【点睛】本题考查抽象函数与不等式的综合应用，解题关键是正确构造函数，通过研究函数的性质解不等式.12.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数在上的解析式，以及，求出函数在上的解析式，求出满足题意的临界值即可.【详解】，当时，时，时，将函数大致图象绘制如下：时，令，解得
9、：，若对于任意，都有，所以，故选：A.【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及数形结合求解恒成立问题的能力，属综合性中档题.二、填空题：（本大题共4个小题）13.设，且，则_【答案】0【解析】【分析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出的值，最后计算出它的余弦值即可.【详解】因为，所以，因此.故答案为：0【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.14.函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】求出原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，由复合函数的单调性求得函数的单调递减区间【详解
10、】解：由，得，又内层函数在上为减函数，函数的单调递减区间是故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数的内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题15.是定义域为的偶函数，对，都有，当时，则_.【答案】【解析】【分析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.【详解】因为是定义域为的偶函数,所以 ,所以周期,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于
11、中档题.16.已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】通过的范围，得到的图像与取值范围；设，根据图像可知，若时，每个的取值对应唯一的，即有两个不同解；若，每个的取值对应两个不同的的，即有唯一解即可根据图像，求得的取值范围.【详解】当时，图像如下：设，则当时，若方程有两个不同解，只需与图像只有一个交点当时，若方程有两个不同解，需与图像有两个交点，不合题意当时，若方程有两个不同解，需与图像有两个交点综上所述：本题正确结果：【点睛】本题主要考查了利用三角函数的范围，求出与二次函数有关的复合函数的值域问题.易错点在于将函数转化为二次函数后，忽略了与的对应关系
12、，错误的认为只需与在上有两个交点即可，从而错误求得部分结果.三、解答题：（本大题共6个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合为函数的定义域，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出集合、，然后利用补集和交集的定义可求出集合；（2）由可得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）据题意，当时，.，所以，因此，；（2），所以或，解得或，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知向量，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区
13、间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，（2）【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算以及倍角公式和辅助角公式，将函数整理为标准型正弦型函数，再求解其性质即可；（2）先根据三角函数图像的变换，求得，再求函数值域即可.【详解】（1）因为函数的最小正周期为，由得的单调递增区间为，.（2）根据条件得当时，所以当时，.【点睛】本题考查利用倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式并求其性质的问题，涉及三角函数图像的变换，属综合性中档题.19.如图，某园林单位准备绿
14、化一块直径为BC的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若，设的面积为，正方形PQRS的面积为.（1）用a，表示和；（2）当a为定值，变化时，求的最小值，及此时的值.【答案】（1）；（2）当时，的值最小，最小值为【解析】【分析】（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根据题意，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值.【详解】（1）在中，所以；设正方形的边长为x，则，由，得，解得；所以；（2），令，因为，所以，则，所以；设，根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，因此当时，有最小
15、值，此时，解得；所以当时，的值最小，最小值为.【点睛】本题考查倍角公式的使用，三角函数在锐角三角形中的应用，以及利用对勾函数的单调性求函数的最值，涉及换元法，属综合性中档题.20.如图，已知函数，点、分别是的图象与轴、轴的交点，、分别是的图象上横坐标为、的两点，轴，且、三点共线（1）求函数的解析式；（2）若，求；（3）若关于的函数在区间上恰好有一个零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出点的横坐标，线段中点坐标，再求函数的最小正周期，从而求出、的值，即可写出函数解析式；（2）由题意得出，再利用诱导公式可求出的值；（3）由函数的解析式，利用分离常数法得出，求
16、出时，的范围，可得出关于的不等式，解出即可.【详解】（1）根据题意，点与点关于点对称，点的横坐标为.又点与点关于直线对称，函数的最小正周期，又，解得，因此，；（2）由，所以，所以；（3），令，得，当时，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算，也考查了函数与方程思想方法，是综合题21.已知函数（1）求函数在区间上的最小值；（2）若存在不相等的实数同时满足，求的取值范围.【答案】（1）时：；时：；（2）【解析】【分析】（1）设，化简得到函数，讨论对称轴范围和两种情况计算得到答案.（2）根据化简得到，代入函数得到，设得到函数，根据
17、函数的单调性得到取值范围.【详解】（1），设，对称轴为 当时：；当时：.综上所述：时：；时：（2），则化简得到： 即设则易知函数在单调递增，故即【点睛】本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.22.已知函数.（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；（3）若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数的性质，根据分段函数在上是单调增函数，即可求得参数的范围；（2）根据题意，分离参数，将问题转
18、化求解函数在区间上最值的问题，即可求得；（3）将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，求出函数的值域，结合函数的单调性即可求得.【详解】（1）函数.由于在R上是连续的增函数，所以只要当时为增函数且当时也为增函数；即，解得，则a的范围为.（2）由题意得对任意的实数，恒成立，即，当恒成立，即，故且在上恒成立，即在时，只要的最大值且的最小值即可，而当时，为增函数，；当时，增函数，.所以满足条件的所有.（3）由题意得，关于x的方程有三个不相等的实数根有三个不相等的实数根；即与有三个不同的交点；当时，由（1）知，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根；当时，由.当时，对称轴，则在为增函数；此时的值域为，当时，对称轴，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；综上所述，若存在，使与有三个不同的交点，则，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，.故可得.【点睛】本题考查由分段函数在上的单调性求参数的范围，以及由恒成立问题求参数的范围，涉及由方程根的个数，求参数的范围，属综合性中档题.